Les arbres de transmission - Mécanique
![http://img.nauticexpo.fr/images_ne/photo-g/31524-7127489.jpg](https://4.bp.blogspot.com/-d2A67E_YYr4/VzslFrDtokI/AAAAAAAAK8s/elVMOSuWFCw0O7wUZEmthp9_-3IrzzDIgCLcB/s320/image001.jpg)
Plan
· Qu’est ce qu’un arbre?
· Montage des arbres
· Choix d’un arbre
1. Choix de matériaux
2. Choix de diamètre
· Critère basé sur résistance
- code ASME
- Théorie de cisaillement maximal
- Théorie de Van Mises-Hencky
· Critères de rigidité
· Vitesses critique de rotation
Qu'est-ce qu'un arbre ?
Un arbre, c'est une pièce ...
- rotative ou fixe, normalement de section circulaire.
- qui supporte des éléments de transmission de puissance ou de mouvement (engrenages, poulies,ect
Un arbre porte les noms suivants :
· arbre de transmission
· arbre de renvoi
· essieu
Montage des arbres:
![clavette.jpeg](https://4.bp.blogspot.com/-CDnlnJXuJ_M/VzslFpF0bdI/AAAAAAAAK8w/ys4FAW_sh_QVR182sSzOAuax1jEgEaD7gCLcB/s1600/image002.jpg)
· Les
arbre de machines servent le plus souvent a transmettre le puissance
par l’intermédiaire des éléments ( engrenage ,poulie, cames,..) tous ces
éléments doivent êtres monter sur l’arbre , il existe plusieurs types
de montage voici les plus utilisés :
· Montage a clavette
· Montage a cannelure
· Montage a force et a retrait
![cannelure.jpeg](https://3.bp.blogspot.com/-3ZEHkZ-ddic/VzslF2SSgDI/AAAAAAAAK80/1_rIesuUIs4d093triXicJudfmAfPFQ1gCLcB/s1600/image003.jpg)
conception d’un arbre
- Choix de matériaux
- Choix de diamètre
les critères de choix du matériau sont les suivants :
· Propriétés mécaniques
· Disponibilité
· coût
· ………
· Fonction : transmettre de la puissance longtemps et à bon coût.
Choix de diamètre
Critères de conception d’arbres:
· Conception basée sur la résistance
· Conception basée sur la rigidité
· Conception basée sur la vitesse
Les étapes de conception basée sur la résistance
· 1. Calculer les réactions
· 2. Calculer la répartition des couples de torsion
· 3. Calculer la répartition des moments de flexion dans les
· plans vertical (Mv) et horizontal (Mh)
· 4. Calculer la répartition du moment de flexion résultant (M)
· 5. Calculer la répartition des forces axiales
· 6.déterminer la section critique
· 7.calculer le diamètre nécessaire pour résister aux charges de la section critique
Conception basée sur la résistance
Trois approches présentées :
· 1. Approche du code ASME.
· 2. Théorie du cisaillement maximal (code Westinghouse).
· 3. Théorie de Von Mises-Hencky (méthode VMHG).
Code ASME
![](https://1.bp.blogspot.com/-ZDTCsyicmEU/VzslGOFIELI/AAAAAAAAK84/Qm2fhV7UOoQ6UV_RMX_pWQJnt4MytJiewCLcB/s320/image004.jpg)
Le calcule de la contrainte maximale de cisaillement basé sur le cercle de mohr:
![](https://3.bp.blogspot.com/-kAQOUKNNfG4/VzslGGiNqJI/AAAAAAAAK88/vduqSCZ4rBQk06rgcElLgAq8wxCQIvCfwCLcB/s320/image005.jpg)
Le ASME définit la contrainte admissible comme étant la plus petite des deux valeurs suivantes :
![](https://4.bp.blogspot.com/-ffSdbOdPWsk/VzslGG5wP-I/AAAAAAAAK9A/HnOWo3u8EjwQpYlcGmGo-2H5AUbmz-HrQCLcB/s1600/image006.jpg)
![](https://3.bp.blogspot.com/-3tedWAbSgu4/VzslGcz8Q5I/AAAAAAAAK9E/ar2TJDnc9yYRsBu_GGpv-xc6N5QFZ0w2QCLcB/s320/image007.jpg)
![](https://2.bp.blogspot.com/-MS-W5VXK74Q/VzslG6l4WzI/AAAAAAAAK9I/cq55D2ez6qEG-b83UD5dh30VFAoskVAEwCLcB/s320/image008.gif)
![](https://3.bp.blogspot.com/-BoH2Gj0TVWM/VzslGxw21jI/AAAAAAAAK9M/V4zqLI6EIxYyGe6mjWjeU8kQ9cizLrcPQCLcB/s320/image009.gif)
Théorie du cisaillement maximal (code Westinghouse):
· Basée sur le critère de Tresca et la ligne de Soderberg en fatigue.
· Prend en charge les valeurs moyenne et alternée des contraintes.
![](https://2.bp.blogspot.com/-a9vRNOoSTzo/VzslHHCV1jI/AAAAAAAAK9Q/yxPVI0IA5wUvlktaVVmwZGxFpt_N6vB6ACLcB/s320/image010.jpg)
![](https://1.bp.blogspot.com/-OTU80FhvfsU/VzslHWtZdNI/AAAAAAAAK9U/hrrFEAWu5IgeeREUGsWLH6XO4eKE9R-rACLcB/s320/image011.jpg)
![](https://2.bp.blogspot.com/-XGcSqlKOspE/VzslHTO5wJI/AAAAAAAAK9Y/ze4XBMtBYHQ1gfpjYlcWWTED2s1ooXTkQCLcB/s320/image012.jpg)
· Composante moyenne
![](https://1.bp.blogspot.com/-n7-qD_GcXoo/VzslHVAaniI/AAAAAAAAK9c/iDjhQI7q1VUlCVBpKMBL-Iw5eAg5fW-DACLcB/s1600/image013.jpg)
· Composante alternée
![](https://2.bp.blogspot.com/-GaAyi2GmNXg/VzslHhgJyDI/AAAAAAAAK9g/ghreGl9uuzMmsLFK2T0LUrLYZGE6IvI-QCLcB/s1600/image014.jpg)
![](https://2.bp.blogspot.com/-2dNTwWvM00w/VzslHwGytyI/AAAAAAAAK9k/hMT36p4GmCIAC3_FGl9ptJn5-gGMxobRACLcB/s320/image015.jpg)
![](https://3.bp.blogspot.com/-naC0GgK8nB4/VzslH28kXcI/AAAAAAAAK9o/c2b0HqYc5msFOlh06QBJE_WFdPpzr-IgACLcB/s320/image016.jpg)
![](https://2.bp.blogspot.com/-1fJdmU2rsz4/VzslINY6jDI/AAAAAAAAK9s/7EODysALYBA7Ugkt5EAZycBWmdV5uUKqwCLcB/s320/image017.jpg)
Code Westinghouse (cas général)
![](https://1.bp.blogspot.com/-DLq_3BSJqwc/VzslIaSkGDI/AAAAAAAAK9w/hohcAvSDCZsR9VUNkoRzwRtcmPByPEAHQCLcB/s1600/image018.jpg)
![](https://4.bp.blogspot.com/-LB0g1Lm-iTs/VzslIYKhI4I/AAAAAAAAK90/DmmjDgpESQkwsEZ8klsBREyEzMphuXiYgCLcB/s1600/image019.jpg)
· Ta et Ma - composantes variables
· Tm et Mm - composantes statiques (moyennes)
Théorie de Von Mises-Hencky (méthode VMHG):
· Basée sur le critère de Von Mises et la ligne de Goodman en fatigue.
· Un arbre en rotation est soumis à :
· des contraintes de flexion variables causées par un moment constant
· des contraintes de cisaillement variables causées par un couple variable
· des contraintes axiales causées par une charge axiale constante
![](https://2.bp.blogspot.com/-cCtSsW_TfnM/VzslIoWcaGI/AAAAAAAAK94/rBo8BTIoJf8l_DnNBdD76z_6RJlovZvwgCLcB/s320/image020.jpg)
Procédure pour la méthode VMHG:
· Identifier les sollicitations sur l’arbre et calculer la valeur approximative de d (code ASME, par exemple).
· Calculer les composantes statiques et variables des contraintes résultantes.
· Calculer les contraintes de Von Mises σm’ et σa’.
· Appliquer l’équation de conception de Goodman.
· Calculer le FS (vérification) ou d (conception).
· Répéter les calculs (1 à 5) en cas de besoin.
ةquations générales pour la méthode VMHG:
![](https://1.bp.blogspot.com/-oWtQr499nHM/VzslIxA6uVI/AAAAAAAAK98/03sqdH6vvCAj5VcQtlauQ8bKbG8pqOdoQCLcB/s320/image021.jpg)
Critères de rigiditè :
· La rigidité d’un arbre dépend :
du diamètre (d) de l’arbre
du module de Young (E) du matériau
· Les arbres sont généralement fait d’acier
· Tous les aciers ont à peu près le même E
Le diamètre de l’arbre détermine la rigidité
Déformation latérale :
· Pour les arbres de transmission la flèche maximale doit être < 0,08 % de la portée entre les supports .
· Pour les arbres de renvoi la flèche maximale doit être < 0,015 % de la portée entre les supports .
· Aussi la variation de flèche de part et d’autre d’un engrenage doit être < 0,005 % .
![](https://1.bp.blogspot.com/-wSu44xDlQEQ/VzslIzsgSYI/AAAAAAAAK-A/c5xu7pZGkg8vfxKd_u0rFc4Kha5R6GROgCLcB/s320/image022.jpg)
Méthode de calcul de la déformation latérale :
· La méthode des moments d’air est basée sur deux théorèmes :
1er thèoreme :
La différence de pente φAB entre deux points A et B sur une poutre est égale à la surface au-dessous du diagramme M/EI entre les points A et B.
![](https://3.bp.blogspot.com/-eAyX-Tn3PlI/VzslJDJ41SI/AAAAAAAAK-E/-hLwQsZKNBI0bgPa-1_heG2EihAA_Q1KACLcB/s320/image023.gif)
Voici la formule de différence de pente:
![](https://1.bp.blogspot.com/-cvduAmhwqJE/VzslJaZcijI/AAAAAAAAK-I/3ghjTu_TYu8m2mflzUjk2acunQpbonsUwCLcB/s320/image024.jpg)
2ème thèoreme :
La flèche tangentielle mesurée verticalement entre un point A sur la poutre et la tangente au point B (∆AB) est égale au premier moment de surface sous le diagramme M/EI par rapport à A.
![](https://3.bp.blogspot.com/-GlVdnoo8O_A/VzslJhHG4lI/AAAAAAAAK-M/gfH7rfRDlgg8hOKyVQFN_olyirH3I9J7wCLcB/s320/image025.gif)
![](https://3.bp.blogspot.com/-nR07LEx6WTY/VzslJyPCwnI/AAAAAAAAK-Q/W82QPpl2PT4BzDL4dWY3CnuKSNqxEu6LACLcB/s320/image026.jpg)
· Ce
2éme théorème nous permet de calculer la flèche tangentielle entre la
poutre déformée et la tangente a un point donné choisit judicieusement
entre l’ensemble des points appartenant a la poutre.
Déformation en torsion :
· Pour les arbres de transmission l’angle de torsion doit être < 1° sur une distance égale a 20 fois le diamètre de l’arbre .
· Pour les arbres de renvoi l’angle de torsion doit être :
· < 0,3° par mètre de longueur(charges constantes)
· < 0,15° par mètre de longueur(charges subites).
· On rappele que la formule relative a la dèformation angulaire θ d’un arbre est :
![](https://3.bp.blogspot.com/-y0iFpgsSwqk/VzslJyTyieI/AAAAAAAAK-U/YBYqBAxzbxMdrQe1TrXR4gd7avDYo3L-gCLcB/s1600/image027.gif)
Avec : T - couple de torsion appliquè a l’arbre .
L - longueur de l’arbre.
G - module de cisaillement.
J - module d’inertie polaire de la section .
Vitesses critiques de rotation:
C’est
la fréquence naturelle de vibrations latérales ou de vibrations de
torsion de l’arbre. A de faibles vitesse de rotation , le premier mode
est toujours le plus inquiétant. Les autres fréquences de résonance sont
des multiples de la fréquence naturelle. A de plus grandes vitesses,
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