La Corrigé d'Examen 1 d'électrostatique
Exercice 1
Partie I
1) En coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) de base
le champ est donné par :
![](https://3.bp.blogspot.com/-8mOdlS-KTJY/VzH8cjL9HSI/AAAAAAAAKdk/nJeYk-gbt_Qu43_E09n-nIXVf3HvHl2yACLcB/s1600/image001.gif)
![](https://4.bp.blogspot.com/-12dHS8QCg0A/VzH8cwG4N6I/AAAAAAAAKds/T66R3Z59DsM4yN7W_dG55P4-jpHkTZGsACLcB/s1600/image002.gif)
Partie II
![](https://4.bp.blogspot.com/-dGfNZx5FxmU/VzH8cqDLG3I/AAAAAAAAKdo/zEFEDoo-MhsJl5d3zWkMotieuXuVUHywACLcB/s1600/image003.gif)
2) On remplace la charge q en A par (-q) :
![](https://1.bp.blogspot.com/-MSr4JeJxj8c/VzH8dBXLd0I/AAAAAAAAKdw/WzA8izxms9Iz3c0EzSNKU0i1XF55B7nxgCLcB/s1600/image004.gif)
![](https://2.bp.blogspot.com/-lSD_Y6gRzGU/VzH8dM0tasI/AAAAAAAAKd0/BM5NmZxe8KcGsVPC3bGKrq8hmVGPPUuOACLcB/s1600/image005.gif)
Et donc,
![](https://2.bp.blogspot.com/-yKBU7einKaE/VzH8dWnAh0I/AAAAAAAAKd4/dxwl4oWTQgM32r2J8EpMYJL1CEnsovT6gCLcB/s1600/image006.gif)
Partie III
![](https://1.bp.blogspot.com/-LeOP3ATGEd4/VzH8dSPgEfI/AAAAAAAAKd8/SETifzsFy9oakpVeRdy4rmCYQ5g0btNXQCLcB/s1600/image007.gif)
dq = λdl = λdz .
* La charge élémentaire dq(P) crée le champ élémentaire ![](https://3.bp.blogspot.com/-BD4_hGADe4g/VzH8dnxL-FI/AAAAAAAAKeA/WucwUU18KdYGk0R2gKbVEK5pIEZUlpCiACLcB/s1600/image008.gif)
![](https://3.bp.blogspot.com/-BD4_hGADe4g/VzH8dnxL-FI/AAAAAAAAKeA/WucwUU18KdYGk0R2gKbVEK5pIEZUlpCiACLcB/s1600/image008.gif)
* La charge élémentaire dq(P') crée le champ élémentaire ![](https://3.bp.blogspot.com/-LK3IAtv3Jsk/VzH8d_gQ-wI/AAAAAAAAKeE/OLpYYsEXdJEI-USMzaWjf1iYIFCn-rVIwCLcB/s1600/image009.gif)
![](https://3.bp.blogspot.com/-LK3IAtv3Jsk/VzH8d_gQ-wI/AAAAAAAAKeE/OLpYYsEXdJEI-USMzaWjf1iYIFCn-rVIwCLcB/s1600/image009.gif)
Le champ crée par les deux éléments symétriques a une seule composante suivant
puisque les composantes suivant z’z se compensent.
![](https://2.bp.blogspot.com/-vYKKkl3UCfo/VzH8dzyqyUI/AAAAAAAAKeI/xdLDU1Vll3oC1PPTzj3edqBOE7qone6ZgCLcB/s1600/image010.gif)
D’autre part, ![](https://1.bp.blogspot.com/-OqglufqQgvA/VzH8eH_O_AI/AAAAAAAAKeM/vxfP65U74ycIFbJOgQIUZT3Z5vPZSAWfQCLcB/s1600/image011.gif)
![](https://1.bp.blogspot.com/-OqglufqQgvA/VzH8eH_O_AI/AAAAAAAAKeM/vxfP65U74ycIFbJOgQIUZT3Z5vPZSAWfQCLcB/s1600/image011.gif)
Donc,
![](https://3.bp.blogspot.com/-OFXTLF-0B6U/VzH8eUKEYSI/AAAAAAAAKeQ/-Jr-xUzgB887kf-UrJajeN9pnjrOWGJ_ACLcB/s1600/image012.gif)
![](https://4.bp.blogspot.com/-NWelmo08Yk0/VzH8edIQZpI/AAAAAAAAKeU/1-8YSK5xjjY4LvNY5yS8Y2NUuTNmMPb1wCLcB/s1600/image013.gif)
Le champ total est :
![](https://4.bp.blogspot.com/-ldLECHjaR7c/VzH8eu_Qo2I/AAAAAAAAKeY/rEkeOPEZvRguwkHMJVp0YPW4syId_9TpwCLcB/s1600/image014.gif)
* La charge totale du fil est :
et donc :
. Le champ peut s’exprimer en fonction de la charge totale :
![](https://2.bp.blogspot.com/-sFGGPBs8pCE/VzH8eq95hPI/AAAAAAAAKec/x6tDgLHfef8VKwInlNvzylKW1xAax62IQCLcB/s1600/image015.gif)
![](https://1.bp.blogspot.com/-Iyzn00wSDWo/VzH8et8h3bI/AAAAAAAAKeg/6vS-vyOQDBYnCSJenOLls0h4blViTZUggCLcB/s1600/image016.gif)
![](https://4.bp.blogspot.com/-3vLpoeYoLnw/VzH8e1OEYAI/AAAAAAAAKek/bf_LtA1hMtAdjJpU-EXGycIE7fSLfimOQCLcB/s1600/image017.gif)
Rq. On peut retrouver ce résultat, en écrivant le champ dans le cas où r << L / 2 :
![](https://3.bp.blogspot.com/-St_Kysi3sgU/VzH8fIdfeHI/AAAAAAAAKeo/YKcaQzjWv38MJhYgfDQiZCC1OJroPzZQgCLcB/s1600/image018.gif)
3) V pour un fil infini :
![](https://3.bp.blogspot.com/-ZlQc_SZbyo8/VzH8fSN8--I/AAAAAAAAKes/9_eALrcI1LEgLJttYqHTQpS5XSJBhDKRgCLcB/s1600/image019.gif)
Exercice 2
Partie I
![](https://2.bp.blogspot.com/-Rx4hUe6gBfY/VzH8fYwmW4I/AAAAAAAAKew/tCNAuRr2-zsEeO860JHb6JglRUPTZtvNACLcB/s1600/image020.gif)
![](https://3.bp.blogspot.com/-xE5Ay94q0HE/VzH8fq5kUNI/AAAAAAAAKe0/IWSJYrIq9FcA1N6PHHDb9b6k6D9Sc0rIwCLcB/s1600/image021.gif)
2) Superposition
![](https://1.bp.blogspot.com/-wVo_ULdOiSU/VzH8f0OQY_I/AAAAAAAAKe4/5pGRvu95hDQ_KBIvMJlXTDLAikisizn9QCLcB/s1600/image022.jpg)
![](https://3.bp.blogspot.com/-RXVrfcZEDAA/VzH8fzpQ-XI/AAAAAAAAKe8/0H8ek8GAmeIOXmRw6By-Kfy4ft6krG9ngCLcB/s1600/image023.gif)
![](https://2.bp.blogspot.com/-kTx3c46ewb8/VzH8gLLNfPI/AAAAAAAAKfA/FyFxHqFnmb8Yb7gpZJg9jm51ZMGTFOyFQCLcB/s1600/image024.gif)
b) Potentiel V(M)
![](https://4.bp.blogspot.com/-sDD9GTk7dQo/VzH8gYtAqSI/AAAAAAAAKfE/wUfHVR96uikTezxGkcMK0Vbjmef430ZyQCLcB/s1600/image025.gif)
![](https://2.bp.blogspot.com/-Ur2rG-PluWg/VzH8gSyvs9I/AAAAAAAAKfI/TDBRQHoj7pE52JyBSVFqAqEm9isWDpoSQCLcB/s1600/image026.gif)
Puisque le potentiel est continu en z = 0 et en z = d, on a :
![](https://2.bp.blogspot.com/-7A0nawOX3EI/VzH8gnn4oeI/AAAAAAAAKfM/W2I0iCsnoXYOPs6KnUc1S0fhe6JIgn3iACLcB/s1600/image027.gif)
3) Représentation de E(z) et V(z)
![](https://2.bp.blogspot.com/-X6ezvF6pWP0/VzH8g8RQOII/AAAAAAAAKfQ/h19KNgoL5PUOS1SH-xG0Jr8N2HiE935AgCLcB/s1600/image028.gif)
![](https://3.bp.blogspot.com/-lxPzfL_7dOc/VzH8g5PDRaI/AAAAAAAAKfU/qD5iihaJGUA9GEbj9qGnU-oaiFsU5wmpQCLcB/s1600/image029.gif)
Commentaires : le champ
est discontinu en z = 0 et en z = d ; alors que le potentiel est continu.
![](https://3.bp.blogspot.com/-04xpS7TEdjg/VzH8hNbwaFI/AAAAAAAAKfY/ZIeMePuNJusfRQuJc9CfQWfT_4xcaTeAgCLcB/s1600/image030.gif)
Partie II
Le plan Π crée un champ : ![](https://4.bp.blogspot.com/-mDA6GG5sSUw/VzH8hFywvSI/AAAAAAAAKfc/DwOVgfxuxbsm2mN9PeWBKXKzoi4Z7gyxQCLcB/s1600/image031.gif)
![](https://4.bp.blogspot.com/-mDA6GG5sSUw/VzH8hFywvSI/AAAAAAAAKfc/DwOVgfxuxbsm2mN9PeWBKXKzoi4Z7gyxQCLcB/s1600/image031.gif)
Soit D : la surface du disque et S la surface d’une demi-sphère et D'= D + S
![](https://2.bp.blogspot.com/-oiX8n3bDkW0/VzH8hfEssmI/AAAAAAAAKfg/-B5KAsWe_WIQ8bIY2M2f1B9m9kVmtyBlwCLcB/s1600/image032.gif)
![](https://4.bp.blogspot.com/-X05m4EQmV1Q/VzH8hokNQUI/AAAAAAAAKfk/wMybYJbbWgY9hku0gDzDHOiWgH5aD38BgCLcB/s1600/image033.gif)
En un point M du disque D :
![](https://2.bp.blogspot.com/-SpOJ2AVNqxg/VzH8hs8e6kI/AAAAAAAAKfo/lh6_A_GX4AUfXwSFLpD_QEZwXUVoQM2pACLcB/s1600/image034.gif)
Le signe – traduit le fait que le flux de
à travers D est sortant.
![](https://2.bp.blogspot.com/---fy6JSgXfU/VzH8hjm85hI/AAAAAAAAKfs/e1fKq6cLRrUifvDh9_uERzXqPOWLJyXVACLcB/s1600/image035.gif)
![](https://2.bp.blogspot.com/-8o7oNG3k-qg/VzH8hxioKTI/AAAAAAAAKfw/jFAXqbGUitIHLZ6O9g3FCaNTdkGLcJOhgCLcB/s1600/image036.gif)
* En un point M de la sphère S :
![](https://1.bp.blogspot.com/-MUYd4WzubuM/VzH8iLxi1AI/AAAAAAAAKf0/A-Gk-XgjwxovKrNtSl4lXNDMcv819DEEACLcB/s1600/image037.gif)
Ainsi, le flux total est :
![](https://3.bp.blogspot.com/-J6aDJt2ClEY/VzH8iEXgNYI/AAAAAAAAKf4/cFrskd3bEuo2-uMGRxOx6GbJcyYWsnBtACLcB/s1600/image038.gif)
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