Le Dipôle Électrostatique - Cours d’électrostatique
Le Dipôle Électrostatique
1 - INTRODUCTION
Un dipôle électrostatique se définit par une répartition particulière de charges électriques telles que le barycentre des charges positives ne coïncide pas avec celui des charges négatives (le système est globalement neutre). Le dipôle le plus simple est donc un couple de deux charges de signe opposé distantes d'une longueur a non nulle. Cette notion est principalement utilisée en électromagnétisme et par suite en chimie où certaines liaisons entre molécules peuvent être expliquées en modélisant ces molécules par un dipôle (liaison hydrogène par exemple). En physique, on s'intéresse au champ électrostatique2 - POTENTIEL ET CHAMP ELECTROSTATIQUES CREES PAR UN DIPOLE ISOLE
2.1 - Définition
Le dipôle électrostatique est l’ensemble de deux charges électriques égales et de signes contraires (-q) et (+q) (q > 0), (figure 1). Ces deux charges sont fixées respectivement en deux points A et B séparées d’une distance2.2 - Moment dipolaires électriques
Soient deux charges ponctuelles –q, +q fixées respectivement en A et B (q > 0). Le moment dipolaire électrique (ou moment du dipôle) est une grandeur vectorielle définie par (figure 1):En désignant par a la distance séparant A et B, la norme du moment dipolaire vaut :
Le moment dipolaire décrit la charge et sa géométrie. Il permet de caractériser le dipôle. Son unité dans le système International (SI) est le Coulomb-mètre (C m).
2.3 - Calcul du potentiel électrostatique
Soient deux charges ponctuelles –q, +q fixées respectivement en A et B (figure 1) distant de (a). Considérons un point M très éloignés des charges, ce qui revient à considérer la distance a très inférieure à celle qui sépare M de l’une ou l’autre charge (la distance a est agrandie pour des raisons de clarté).La position de M est repéré dans le système des coordonnées polaires (r, θ). Nous choisissons de prendre pour axe (Ox), la droite qui joint les deux charges tel que l’origine O soit au milieu du segment AB qui joint les charges (Ox es l’axe de révolution de la distribution).
D’après le principe de superposition, le potentiel V(M) créé par le dipôle en un point M repéré par ses coordonnées polaires (r, θ) est donnée par :
avec,
Ainsi,
Nous avons donc,
Puisque a/r<<1, on a : a²/(4r²) <<a/r , on peut négliger les termes en (a/r)² devant le terme en (a/r) :
Etant donné que a << r, on peut développer
Le potentiel V(M) est donc donné par :
Soit
On a :
Le potentiel V(M) s’écrit donc :
Cette expression qui fait intervenir un produit scalaire est indépendante de tout système de coordonnées Il faut remarquer que la décroissance du potentiel en créer par un dipôle (1/r²) est plus rapide que dans le cas d’une charge ponctuelle qui est en (1/r).
2.4 - Calcul du champ électrostatique
2.4.1 - Composantes du champ en coordonnées polaires
Le dipôle présente une symétrie de révolution autour de (AB). Le champ électrostatiqueD’après le principe de superposition, le champ en M est donné par :
Pour calculer les composantes du champ, utilisons la relation :
Les composantes du champ dérivant du potentiel V(M) s’écrivent dans le système de coordonnées cylindriques :
Il faut remarquer que la décroissance du champ en (1/r^3) créés par un dipôle est plus rapide que dans le cas d’une charge ponctuelle qui est en (1/r²).
Le module de
Soit α l’angle que fait
Notons que les composantes cartésiennes du champ suivant Ox et Oy (du plan AMB) s’écrivent :
2.4.2 - Formulation globale du champ
Nous pouvons exprimerD’où l’expression intrinsèque de
Les effets électriques
Notons que les composantes cartésiennes du champ suivant Ox et Oy (du plan AMB) peuvent être également obtenues en écrivant :
Ce qui donne d’après l’expression intrinsèque du champ indépendante du système de coordonnées :
On retrouve donc les composantes calculer à partir des composantes polaires du champ :
3 - ACTION D’UN CHAMP EXTÉRIEUR UNIFORME SUR UN DIPÔLE
Considérons un dipôle A(-q) et B( +q) de moment3.1 - Forces et moment du couple exercés par un dipôle
Chacune des charges subit une force donnée par :Puisque le champ extérieur est uniforme, la résultante des forces est évidemment nulle (on ne tiendra pas compte de la force exercée par q sur –q et réciproquement) :
Par contre, le dipôle subit un couple de force
Ce qui donne :
avec, z u est un vecteur unitaire de la direction (z’z) du repère (Oxyz).
Si on libère le dipôle, il tend sous l’action de
• Pour α=0 (
Si on écarte légèrement le dipôle de sa position d’équilibre, le couple de force tend à le ramener à cette position (figure 5-a). L’équilibre est stable.
• Pour α=Π (
Si on écarte légèrement le dipôle de sa position d’équilibre, le couple de force tend à l’éloigner de cette position (figure 5-b). L’équilibre est instable.
Ainsi, l’action mécanique principale d’un champ uniforme est qu’il tend à orienter le dipôle suivant les lignes du champ
3.2 - Energie potentielle d’interaction du dipôle
C’est l’énergie nécessaire pour amener +q et –q de l’infini à leur position en B et A.Les charges –q et +q fixées en A et B ont des énergies potentielles égales à
Soit V’ le potentiel dont dérive le champ
Ainsi,
Cette expression représente l’énergie d’interaction du dipôle associée au champ
• Pour 0 = α (
L’énergie potentielle est minimale et l’équilibre est stable.
• Pour Π = α (
L’énergie potentielle est maximale et l’équilibre instable.