La solution d'Exercice sur Détermination des caractéristiques d'une distribution de courants (Théorème d'Ampère. Flux du champ magnétique)
Le
vecteur densité de courants est a priori de
la forme :
Comme le champ magnétique est invariant par rotation
autour de l’axe Oz et par translation le long
de même axe, la distribution de courants ne dépend
pas alors des variables![](//1.bp.blogspot.com/-LSF1C7fu2hw/U6fYOnuQ-3I/AAAAAAAAD_g/yZB01a57nTo/s1600/4.gif)
![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v5hMLLnastn3uoDukrJWliLBfsv3Gc-5TedkKEyU5yxjbIj3-xYxG6YH2jrdiOitBfWmxzixL4yV6p9QQs-szfz7jp9CHiEee-IHvLuNXP-BnixacbApXNfnsD4dmBg7deNMGwjMwZA9r5XjUJPzwtkg=s0-d)
et z.
![](http://1.bp.blogspot.com/-LSF1C7fu2hw/U6fYOnuQ-3I/AAAAAAAAD_g/yZB01a57nTo/s1600/4.gif)
Comme le champ magnétique « tourbillonne » autour de
ses sources et qu’il est dans ce problème
orthoradial on doit alors avoir :
On
peut montrer cela en utilisant deux contours
d’Ampère élémentaires particuliers :
L’application du théorème d’Ampère sur ce
contour donne :
On obtient :
Contour![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v5hMLLnastn3uoDukrJWliLBfsv3Gc-5TedkKEyU5yxjbIj3-xYxG6YH2jrdiOitBfWmxzixL4yV6p9QQs-szfz7jp9CHiEee-IHvLuNXP-BnixacbApXNfnsD4dmBg7deNMGwjMwZA9r5XjUJPzwtkg=s0-d)
: Contour fermé rectangulaire contenu dans un
plan![](//4.bp.blogspot.com/-Uf4FDV1VDOc/U6fZgZjV5yI/AAAAAAAAEAc/nSjRiO7JSzA/s1600/12.gif)
![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v5hMLLnastn3uoDukrJWliLBfsv3Gc-5TedkKEyU5yxjbIj3-xYxG6YH2jrdiOitBfWmxzixL4yV6p9QQs-szfz7jp9CHiEee-IHvLuNXP-BnixacbApXNfnsD4dmBg7deNMGwjMwZA9r5XjUJPzwtkg=s0-d)
K’L’M’N’ compris entre z et z
+ dz et r et r + dr :
![](http://1.bp.blogspot.com/-a3bRx-AgbmI/U6fZgMtXv_I/AAAAAAAAEAg/J-hAHaQWVRw/s1600/11.gif)
![](http://4.bp.blogspot.com/-Uf4FDV1VDOc/U6fZgZjV5yI/AAAAAAAAEAc/nSjRiO7JSzA/s1600/12.gif)
Pour déterminer la
troisième composante du vecteur densité de courants
on utilise de nouveau le théorème sur un contour![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v5hMLLnastn3uoDukrJWliLBfsv3Gc-5TedkKEyU5yxjbIj3-xYxG6YH2jrdiOitBfWmxzixL4yV6p9QQs-szfz7jp9CHiEee-IHvLuNXP-BnixacbApXNfnsD4dmBg7deNMGwjMwZA9r5XjUJPzwtkg=s0-d)
comme l’illustre la figure suivante :
![](http://4.bp.blogspot.com/-mEPvRnVFFyQ/U6fbBNyodII/AAAAAAAAEBE/GK5AAkBU59I/s1600/17.gif)
De nouveau le théorème d’Ampère s’écrit sur ce contour fermé :
Pour r < a
![](http://3.bp.blogspot.com/-TgJQJ5yKctg/U6fbdEZQNZI/AAAAAAAAEBg/-wgbEFsX2h4/s1600/19.gif)
![](http://4.bp.blogspot.com/-kh8dGgIQznA/U6fbdAsC3rI/AAAAAAAAEBc/jeHoRGe3zQU/s1600/20.gif)
Pour r > a
![](http://2.bp.blogspot.com/-_zy9YNNXbt4/U6fbvcuj1dI/AAAAAAAAEBs/1N8iFqLTbqk/s1600/21.gif)
Ces trois résultats
permettent d’affirmer qu’il n’existe pas de courant
volumique.
Le champ magnétique subit
une discontinuité de sa composante tangentielle en
r = a. Les courants sont donc répartis sur la
surface cylindrique de rayon r = a.
vecteur normal à la distribution surfacique de courant au point
considéré .
Dans le cadre de
l’exercice on a :