Exercice corrigé sur Ondes électromagnétiques transversales dans un plasma (Ondes électromagnétiques)

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Un plasma est un gaz totalement ionisé constitué de cations de charge e et de masse m_i et d'électrons de charge - e et de masse m_e. Au repos, les nombres volumiques d'électrons et de cations ont même valeur n_o, de telle sorte que le plasma est localement neutre. On étudie la propagation dans ce plasma d'une onde électromagnétique plane progressive transversale se propageant dans la direction

et décrite par un champ électrique de la forme

et un champ magnétique

de valeur moyenne temporelle nulle. Cette onde met en mouvement les charges: on note

la vitesse de l'électron qui passe au point M à l'instant t et on suppose que la moyenne temporelle <

> est nulle en tout point M. On néglige toute autre force que les forces électromagnétiques.

Montrer que le plasma reste localement neutre en présence de l'onde; dans la suite on supposera que les nombres volumiques d'électrons et d'ions restent égaux à n_o. Etablir l'expression du champ magnétique en fonction de , k etω. A quelle condition (C) sur le rapport de la vitesse des particules sur la vitesse de phase de l'onde peut-on négliger la force magnétique devant la force électrique? Cette condition est supposée vérifiée dans la suite, de telle sorte que le mouvement des particules a lieu dans la direction du champ électrique.
Dans toute la suite, on néglige l'influence du mouvement des ions sur la densité de courants; justifier cette approximation. Justifier que l'accélération d'un électron qui passe au point d'abscisse x à l'instant t est égale à ∂ /∂t. En déduire en notation complexe la relation entre la densité de courants et le champ électrique et faire apparaître une conductivité complexeσ. Que peut-on en conclure sur la puissance moyenne cédée par le champ électromagnétique aux porteurs de charges ?
Etablir la relation de dispersion des ondes. En déduire qu'une OPP ne peut effectivement se propager que si ω est supérieure à un pulsation critique ω_c qu'on exprimera. Exprimer dans ce cas la vitesse de phase et la vitesse de groupe et commenter sachant que la théorie de la relativité interdit la propagation d'une information à une vitesse supérieure à la célérité c des ondes électromagnétiques dans le vide. La condition (C) introduite en 1) est-elle satisfaite ?
On admet que la relation de dispersion est valable pour des OPP* de pulsation ω < ω_c. Quelle est dans ce cas la nature de l'onde dans le plasma? Quelle est alors la puissance moyenne transmise à une interface vide-plasma ? Dans ce cas, l'onde incidente est réfléchie : la réflexion des ondes hertziennes sur l'ionosphère est utilisée pour propager ces ondes en des points non reliés en ligne droite à l'émetteur, ce qui augmente considérablement sa portée : en déduire un encadrement de n_o sachant que le procédé est utilisé pour des ondes longues (λ = 1 km) et n'est pas utilisable pour les ondes courtes de la bande FM (f = 100 MHz).