Cours et Exercices

Durée ( une heure ) Voir la solution Questions de cours ( 7 points) 1) Enoncer le théorème du point fixe de Picard. 2) Ecrire l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace de Hilbert , et l'expliciter pour L²(Ω) 3) Donner la caractérisation de la continuité d'une application linéaire entre espaces vectoriels normés. 4) Enoncer le théorème de convergence dominée. 5) Donner la définition d'une distribution sur un ouvert  Ω de IR. 6) Donner la définition de la convergence dans D'(Ω). 7) Rappeler la formule des sauts (dérivée au sens des distribution d'une fonction C^1 par morceaux). Questions d'application (7 points) Répondre aux questions ci-dessous en justifiant brièvement la réponse ( une ou deux phrases suffisent) Exercice (6 points)  Représenter son support et en donner une interprétation physique Voir la solution

Retour à l'exercice a) oui , on crée un graphe auxiliaire G' à partir du graphe de départ G. pour chaque arête de G , on crée un sommet dans G' .On relie ensuite 2 sommets de G' si les arêtes correspondantes sont adjacentes dans G. De cette façon , une coloration d’arêtes dans le graphe G correspond à une coloration de sommets dans G' et inversement. b) Non , par exemple on ne peut pas appliquer la transformation inverse à ce graphe : Retour à l'exercice Retour à la liste des exercices de recherche opérationnelle

Voir la solution a) peut-on toujours ramener un problème de coloration d'aretes à un problème de coloration de sommets équivalent ? Si oui ,justifier , sinon donner un contre-exemple. b) est-ce que l'inverse de cette transformation peut être utilisé pour ramener un problème de coloration de sommets à un problème de coloration d’arêtes équivalent ? si oui  justifier , sinon donner un contre-exemple Voir la solution Retour à la liste des exercices de recherche opérationnelle

Retour à l'exercice a) il faut 3 couleurs pour colorer G1 et 4 pour colorer G2 . b) La plus grande clique est de taille 2 dans le graphe G1 ainsi que dans G2. On part de G2. pour chaque sommet de G2 on crée une copie . un sommet copié est alors relié aux voisins du sommet de départ . On ajoute ensuite un sommet u qu'on relie a toutes les copies . Il fallait remarquer que les sommets v 1 , v 2 , v 3, v 4, et v 5   de G2 forment G1. a) il faut 5 couleurs pour colorer G3. b) la plus grande clique est de taille 2 Retour à  l'exercice Retour à la liste des exercices de recherche opérationnelle

Voir la solution a) quel est le nombre minimum de couleurs nécessaires pour colorer ces graphes? b) quel est le plus grand nombre de sommets deux à deux adjacents dans ces graphes? Comment peut-on construire le graphe G3 ? Répondre à a) et b) pour G3. Voir la solution Retour à la liste des exercices de recherche opérationnelle

► Recherche de la plus grand nombre de sommets adjacents (La Solution) ► la relation entre la coloration d'arêtes et la coloration de sommets (la Solution) ►Maximisation solution graphique ( Solution ) ► l’algorithme du simplexe ( Solution ) ► Issues (Méthode du simplexe ) (Solution) ► la matrice d’incidence sommets-aretes et la matrice d’adjacence ( Solution ) ► composantes fortement connexes algorithme de marquage ( Solution )   ➨ Cours de la recherche opérationnelle

Le bon miel et la cire !   Le miel et la cire Les abeilles ont une glande qui fabrique la gelée royale. Les abeilles transportent le pollen des fleurs avec leurs mandibules. La fabrication du miel Elles récupèrent le nectar des fleurs le stockent dans les alvéoles qu'elles ferment. Au moment de la récolte, l'apiculteur ouvre les bouchons et récupère le miel. "Toutes les semaines, nous revenons et il y a environ 30 kg de miel." Dans une ruche il y a entre 30 000 et 60 000 abeilles. Avec le miel on peut faire des bonbons, du savon, du pain d'épice, des biscuits, du nougat. Il y à 25 % de miel dans un pot de miel. Le plus fin est celui de lavande. Il y à 50 % de miel dans le pain d'épice au miel. Le miel se fabrique avec le pollen. Le sirop de miel est fait de miel et d'eau. Aliments au miel Nougat au miel Bonbon au miel blanc. Gâteaux à l...

Le plan 1: Que mange l'abeille ? 2 : Les ruches 3 : La ponte 4 : Le corps de l'abeille 5 : Le rôle de l'abeille 6 : Apiculteur 7 : La carte d'identité 8 : Où vit-elle ? 9 : Questions/réponses Que mange l'abeille ? L'abeille se nourrit de miel, la reine et les larves mangent de la gelée royale. Le miel est composé de pollen et de nectar. Les abeilles travaillent pour nous. Car elles nous procurent du miel. Ça leur demande beaucoup de travail. Les mâles et les butineuses (ouvrières) se nourrissent de fleurs (miel). Ce sont les butineuses qui transforment le miel et la bave en gelée royale pour la reine et les larves. Gelée royale* : La nourriture que l'on donne à la reine. Les ruches La ruche est un petit abri où l'on élève des abeilles. Il y a dans une ruche entre 5000 et...

Le plan: 1 Le maître idéal 2 Le portrait du Berger de Beauce 3 Le comportement 4 Le Berger de Beauce en chiffres 5 Histoire 6 Remarque 7 Lexique      1 Le maître idéal : Le Berger de Beauce ne s'épanouit qu'au contact d'un maître sensible. Le maître doit faire comprendre au chien qu'il commande. Le chien obéit volontiers aux ordres. Il devra recevoir une éducation solide et progressive dans une ambiance détendue et sympathique. 2 Le portrait du Berger de Beauce : Il est l'un des plus connu en France. Il a l'allure du Doberman. On le reconnaît par sa queue longue et ses doubles ergots. Hauteur au garrot : 65 cm à 70 cm pour les mâles 61 cm à 68 cm pour les femelles Poids: 40 à 50 kg pour les mâles 30 à 40 kg pour les femelles Durée de vie : 12 ans environ. (on l'appelle aussi le Bas-rouge ou le Beauceron) 3 Le comportement : Le Berger de Beauce est acharné à la tache. Il est habitué à défendre les troupeau...

Le plan : a) histoire b) ossements de dinosaures 1 - un travail de détective 2 - une question de chance 3 - où chercher ? d) le tricératops Une parure spectaculaire e) le tyrannosaure des dents redoutables f) définitions a) histoire dinosaure signifie terrible lézard. Ils vivaient sur la terre bien avant l'homme. Ils sont apparus il y a 225 millions d'années et ont disparu a l'ère secondaire il y a 65 millions d'années. Ces créatures étaient divisées en deux groupes : les saurischiens et les ornithischiens. Le groupe des saurischiens est le premier a apparaître il comprend les dinosaures plutôt proches des reptiles qu'ils soient herbivores (le plus souvent quadrupèdes)ou bien carnivores (les bipèdes) comme les tyrannosaures qui mesuraient 15 mètres de long. Les dinosaures ornitischiens étaient tous herbivores. Ces grands reptiles quadrupèdes comme le stégosore et le tricératops se déplaçaient lourdement mais avait une armu...

Les abeilles   Introduction : Il y a entre 30 000 et 100 000 abeilles dans une ruche selon la saison. Les reines pondent entre 1800 et 2 500 oeufs par 24 heures. Les abeilles vivent 1 mois en été quand elles travaillent et 6 mois en hiver quand elles ne travaillent pas. Une reine vit 2 ou 3 ans maximum. Tous les mâles meurent quand ils fécondent la reine car elle leur sectionne le sexe. Une ruche donne environ 4 kgs de miel par jour pour environ 500 abeilles (suivant les fleurs). Comment s'orientent-elles quand elles volent ? Elles se donnent des point de repère dès que la ruche est installées. L'organisation des abeilles Les abeilles sont très organisées. Il y a la reine, des ventileuses, des ouvrières, des guerrières, etc.   Est - ce que les abeilles sont comme les fourmis ? Elles chassent la reine pour qu'une nouvelle reine la remplace. Elles partent quant la ruche devient trop forte....

Le plan : La température Sécurité Affection Propreté Ses aliments préférés Les végétaux Les bonnes plantes Les aliments à éviter Le foin La température Les changements brusques de température ne sont agréables pour personne, pareil pour le lapin. Celui-ci aura besoin d'être bien à l'abri des courants d'air mais à proximité d'une fenêtre. Donc couvrez la cage lorsque vous faites aérer une pièce. La cage devrait être disposée entre 15 et 30 cm du niveau du sol, aussi loin que possible du radiateur. Ne le laissez pas directement exposé au soleil. Sécurité Le lapin est un animal nerveux. Les enfants qui crient, les oiseaux qui chantent, les gens qui déambulent constamment près de sa cage et les chiens qui aboient sont des distractions dont le lapin peut très bien se passer. Sa colonne vertébrale est fragile et si on le soulève par les oreilles, il aura tendance à vouloir sauter et donnera de violents coups avec ses pa...

Le plan : les serpents son squelette les organes des sens le venin son alimentation sa locomotion la reproduction Évolution et diversité Où vivent-ils ? lexique questionnaire les serpents Reptile au corps allongé, le plus souvent rond et sans de membres. Le corps des serpents est recouvert d'écailles généralement lisses, se m'étant comme les tuiles d'un toit. Les écailles ventrales sont beaucoup plus larges que les écailles dorsales et mis en une seule rangée. Les yeux eux-mêmes sont recouverts d'une écaille transparente, qui les protège. Ils ne possèdent en effet pas de paupière mobile, et sont donc ouverts en permanence. La température des serpents n'est pas constante. On les dits poïkilothermes, contrairement aux animaux homéothermes (les mammifères et les oiseaux), qui conservent toujours la même température. L'exposition au soleil leur permet d'augmenter leur température interne. En fait, les ser...

Le plan : 1. Alimentation 2. Reproduction 3. Comment la chasser 4. Habitat 5. Mâle ou femelle 1. Alimentation La Perdrix grise se nourrit d'insectes, d’araignées, de vers et d’escargots. Après la récolte, elle picore les graines de blés quelle trouve par terre. 2. Reproduction Le couple se forme à la fin de l'hiver. La femelle préfère faire son nid dans les herbes basses. La première ponte à lieu entre le 30 avril et le 20 mai. Lors de la deuxième ponte, elle couve une douzaines d'oeufs. A sa troisième ponte elle 8 oeufs. Elle couve pendant 24 jours puis les oeufs éclosent. 3. Comment la chasser ? Pour la chasser, il faut un bon chien d'arrêt. Evidemment il faut connaître le terrain et de ne pas craindre de marcher lentement. 4. Habitat On la trouve en Europe, en France, en Amérique du Nord, en Océanie, au Nord et au Sud de la Grande Bretagne. Elle vit dans des champs un peu secs. On la trouve dans les motagnes, e...

Le plan Moeurs Reproduction La panthère et l'homme Alimentation et chasse Fiche d'identité   Moeurs En dehors de la brève période d'accouplement et de l'époque ou elles élèvent les jeunes, les panthères mènent une vie solitaire, habituellement sur un territoire déterminé. Si plusieurs panthère maraudaient sur la même zone, le gibier finirait par disparaître, tué ou chassé de la région. Comme les autres félins la panthère marque son territoire par l'urine. Elle marque aussi certain arbres de profondes griffures. La taille de son territoire varie selon les saison et le type d'habitat. Dans les régions riches en gibier, les territoire seront plus petits que dans les régions plus pauvre. Les territoires des mâles sont généralement plus grands que ceux des femelles et en recouvrent souvent un ou plusieurs, mais ne recouvrent jamais celui d'un autres mâles. Reproduction Les panthères vivent en couple environ 1 semaine, ta...