La relation d’ordre ( Règles de calcul dans R )

On sait aussi comparer deux réels quelconque a et b : on a toujours ou bien a ≤ b, ou bien      b ≤ a. En particulier, notant lR+ l’ensemble des réels a tels que 0 ≤ a, et lR− l’ensemble des réels a tels que a ≤ 0, on voit que lR est la réunion de lR+ et de lR− : tout réel est ou bien positif, ou bien négatif.

La relation d’ordre ≤ est compatible avec l’addition et la multiplication, dans le sens ou l’on à les trois propriétés suivantes :

Règle 10 : Si a ≤ b, alors a + c ≤ b + c pour tous réels a, b et c.

Règle 11 : Si a ≤ b et 0 ≤ c, alors a × c ≤ b × c. Si a ≤ b et c ≤ 0, alors b × c ≤ a × c.

Règle 12 : Si a > 0, alors 1/a > 0.

Certaines des conséquences de ces règles doivent être soulignées :

– Supposons que a ≤ b et que c ≤ d. La Règle 10 donne d’abord a+c ≤ b+c, puis b+c ≤ b+d,

donc finalement a + c ≤ b + d : on peut ajouter membre `a membre des inégalités.

– Attention ! on ne peut multiplier membre à membre des inégalités que lorsqu’elles ne concernent que des nombres positifs.

– Supposons que 0 < a ≤ b. La Règle 12 donne 1/a > 0, donc la Règle 11 donne 0 < 1 ≤ b×1/a

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On a aussi 1/b > 0, d’ou  finalement  0 < 1/b≤ 1/a