Intégration par Changement de variable
La proposition qui suit est connue sous le nom de formule du changement de variable. Le lecteur doit noter que l’égalité ci-dessous peut être lue dans les deux sens, et qu’elle sert autant dans l’un que dans l’autre.
Preuve: Si F est une primitive de f sur [a, b], on a, pour tout t de [α, β],
(F ◦ u)’(t) = F’(u(t)).u’(t) = f(u(t)).u’(t), et il suffit d’intégrer :
ce qui prouve la proposition.
On peut donner un sens mathématique à ce petit calcul, mais pour l’instant on doit se contenter d’y voir un moyen de retenir cette formule, voir de la mettre en pratique. En effet, si l’on note u la variable notée x dans la formule ci-dessus (ce qui ne change rien), on lit :
Voici des exemples ou l’on applique la formule du changement de variable dans chacun des deux sens.
Preuve: Si F est une primitive de f sur [a, b], on a, pour tout t de [α, β],
(F ◦ u)’(t) = F’(u(t)).u’(t) = f(u(t)).u’(t), et il suffit d’intégrer :
ce qui prouve la proposition.
Voici des exemples ou l’on applique la formule du changement de variable dans chacun des deux sens.
