Fonctions continues sur un intervalle
1-Fonctions continues sur un intervalle
Définition On dit que
f est continue sur l’intervalle ouvert ]a, b[ lorsque f est continue en chaque
point de ]a, b[. On dit que f est continue sur l’intervalle fermé [a, b]
lorsque
f est continue en chaque point de ]a, b[ et f est continue à
droite en a et à gauche en b.
Proposition Soit a < b deux nombres réels. Si f est
une fonction continue sur [a, b], alors f est bornée sur [a, b].
Preuve: Soit A = {x ∈ [a, b], f
est bornée sur [a, x]}. L’ensemble A est majoré par b, et c’est une
partie non-vide de R : a ∈ A puisque
f(a) est un majorant et un minorant de f sur [a, a]. Donc A admet une
borne supérieure, que l’on note c. Supposons que c < b. Puisque f est
continue en c, il existe α > 0 tel que si |x − c| ≤ α et x ∈ [a, b], alors f(c)−1 ≤ f(x) ≤ f(c)+1. Pour δ = min{α, (b−c)/2}
on a donc f bornée sur [a, c+δ], ce qui est absurde. Donc c = b et f est bornée
sur [a, b].
Attention ! on ne peut pas affaiblir l’hypothèse. Par exemple
la fonction f : x → 1/x est continue sur ]0, 1], mais elle n’y est pas bornée :
il est indispensable que l’intervalle soit fermé. De mˆeme, la fonction f : x →
x2 est continue sur [0,+∞[, mais n’est pas bornée sur cet intervalle. On
retiendra donc qu’ une fonction continue sur un intervalle borné et fermé de lR
est bornée.
Utilisons encore une fois l’axiome de la borne supérieure :
puisque l’ensemble {f(x), x ∈ [a, b]}
est non-vide (a< b) et borné, il admet une borne supérieure M et une borne
inférieure m. Le résultat qui suit montre que m et M sont en fait
respectivement un minimum et un maximum pour f sur [a, b].
Proposition Si f
est une fonction continue sur [a, b], il existe x0 et x1 dans [a, b] tels que
f(x0) ≤ f(x) ≤ f(x1) pour tout x ∈ [a, b].
2-Le Théorème des Valeurs Intermédiaires
Proposition Soit
a < b deux nombres réels, et f une fonction continue sur [a, b]. Si y est
compris entre f(a) et f(b), alors il existe un moins un c ∈ [a, b] tel que f(c) = y.
Preuve: On va supposer que f(a) < f(b), la preuve étant identique dans le
cas ou f(b) > f(a). Soit donc
y ∈]f(a),
f(b)[, et A = {x ∈ [a, b],
f(t) < y pour tout t ∈ [a, x]}.
A est non-vide et majoré, donc admet une
borne supérieure c. Supposons que f(c) < y. Par continuité, il existe δ >
0 tel que f(c + δ) < c, ce qui est absurde. De même f(c) ne peut pas être
strictement supérieur ` y, donc f(c) = y.
On peut faire mieux :
Proposition Soit a < b deux
nombres réels et f une fonction continue sur [a, b].
Soient aussi m et M les bornes inférieures et supérieures
de f sur [a, b]. Si y ∈ [m,M],
alors il existe un moins un c ∈ [a, b] tel
que f(c) = y.
Preuve: Il suffit d’appliquer le résultat précédent
sur l’intervalle d’extrémités x0 et x1, ou x0, x1 ∈ [a, b] sont tels que f(x0) = m et f(x1)= M.
Pour résumer, on a démontré le résultat suivant :
Proposition Soient a < b
deux réels, et f : lR → lR une fonction continue sur [a, b]. l’ensemble f([a, b])
= {f(x), x ∈ [a, b]} est
l’intervalle [m,M] où m et M sont respectivement la borne inférieure et
la borne supérieure de f sur [a, b].