Distance dans R : valeur absolue

Voici pour finir une notion très utile, que l’on peut définir sans ajouter de nouvel axiome.

Disons d’abord que max{a, b} désigne le nombre a si b ≤ a et le nombre b sinon.

Définition : Pour x dans lR, on note |x| le nombre réel défini par |x| = max{−x, x}.

A partir de cette définition , et en raisonnant au cas par cas, on obtient la

Proposition 1.2.3 Soient x et y deux réels. On a

1. |xy| = |x| |y|

2. ||x| − |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y| (inégalité triangulaire).

Après la présentation ”axiomatique” qui précède, il faut quand même se rappeler que l’on peut utiliser son ”sens commun” quand on manipule des réels. En particulier il est commode de se représenter l’ensemble des réels comme étant l’ensemble des points d’une droite. Cette analogie ne suffit pas à comprendre toutes les propriétés des nombres réels, mais elle est tout de même parfois utile pour guider son raisonnement. Dans ce contexte, vous ne devez pas être surpris par la

Définition On appelle distance entre deux réels a et b le nombre d(a, b) = |a − b|.