Définitions, exemples ( Majorant, minorant, borne inférieure, borne supérieure )
Définition 1 Soit
A une partie non-vide de lR, et m un nombre réel. On dit que
1. m est un majorant de A
lorsque a ≤ m pour tout a ∈ A.
2. m est un minorant de A
lorsque m ≤ a pour tout a ∈ A.
Par exemple 0 est un minorant de lN.
D’ailleurs n’importe quel réel plus petit qu’un minorant de A est encore un
minorant de A. On remarque aussi que puisque 0 ∈ lN, 0 est le plus grand des minorants de lN (. .
. n’importe quel nombre réel supérieur strictement `a 0 ne serait pas plus
petit que tous les éléments de lN).
Il est surement clair pour vous que l’ensemble lN n’a
pas de majorant dans lR. . . pourtant cela ne découle pas des propriétés
de R énoncées jusqu’`a présent (cf. le paragraphe suivant).
Définition 2 Soit
A une partie non-vide de lR, et b un nombre réel. On dit que
1. b est la borne supérieure de A lorsque b est
le plus petit des majorants de A.
2. b est la borne inférieure
de A lorsque b est le plus grand des minorants de A.
On a vu par exemple que 0
est la borne inférieure de lN dans lR. Voci d’autres exemples :
si A =]0, 2], 0 est un
minorant de A, et 2 est un majorant de A. Puisque 2 est un
élément de A, c’est nécessairement le plus petit des majorants, donc la borne
supérieure de A, ce qu’on note :
2 = sup ]0, 2].
Il n’est pas aussi évident que 0
soit la borne inférieure de A =]0, 2]. Supposons qu’il existe un
minorant de A, qu’on note m, qui soit strictement plus grand que 0. Puisque m
> 0, on a aussi m
> m/2 > 0 donc m/2 ∈ A et m/2 est inférieur ` m, ce qui est absurde puisque m est un
minorant de A. Donc 0 est bien le plus grand des minorants de A : 0 = inf
]0, 2].
Proposition 3
Soit A une partie non-vide de lR, et b un réel. Les deux énoncés
suivants sont équivalents
1. b est la borne supérieure
de A.
2. b est un majorant de A
et, pour tout ∈ > 0, il existe au moins un élément de A
dans l’intervalle [b − ∈, b].
Preuve: Si b
est la borne supérieure de A, c’est un majorant de A, et pour tout ∈
> 0,
b − ∈
n’est pas un majorant de A : il existe un élément x de A qui est supérieur ` b
− ∈.
Puisque b est un majorant de A,
on a aussi x ≤ b, donc x ∈ [b − ∈, b].
Réciproquement, si (2) est vraie,
alors b est bien le plus petit des majorants de A.
Bien entendu, si A n’admet pas de
majorant, A n’a pas non plus de borne supérieure. Voilà` maintenant la
différence essentielle entre Q et lR : dans lR, c’est le
seul cas ou une partie
(non-vide) de R n’a pas de borne
supérieure.