COURS DE TRIGONOMÉTRIE
TRIGONOMÉTRIE
COURS DE TRIGONOMÉTRIE
1. Radian2. Trigonométrie du cercle
2.1. Cercle trigonométrique
2.2. Relations remarquables
2.2.1. Théorème du cosinus
2.2.2. Théorème du sinus
3. Trigonométrie hyperbolique
3.1. Relations remarquables
4. Trigonométrie sphérique
4.1. Relation des sinus
4.2. Angle solide
Remarques:
R1. Il
existe actuellement trois trigonométries connues (définies)
couramment utilisées en mathématique : la trigonométrie
du cercle (assimilée à l'étude des "fonctions
circulaires"), la
trigonométrie
hyperbolique et la trigonométrie
sphérique.
Nous proposons dans le présent texte une tentative d'approche
relativement rigoureuse de toutes les relations les plus connues
dans ces trois domaines.
R2. Nous ne traiterons par contre pas ici des trigonométries quadratique et rhombique qui sont utilisées par les électroniciens et qui n'ont peu voir pas d'intérêt en physique théorique. La même remarque est valable pour la trigonométrie lemniscatique qui est en relation avec les mathématiques pures et en particulier la fonction zêta de Riemann.
R3. Le lecteur qui chercherait la démonstration des dérivées et intégrales des fonctions trigonométriques définies ci-après devra se reporter au chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral (cf. section d'Algèbre) où les dérivées et intégrales des fonctions usuelles que nous pouvons trouver dans les formulaires sont toutes démontrées.
R2. Nous ne traiterons par contre pas ici des trigonométries quadratique et rhombique qui sont utilisées par les électroniciens et qui n'ont peu voir pas d'intérêt en physique théorique. La même remarque est valable pour la trigonométrie lemniscatique qui est en relation avec les mathématiques pures et en particulier la fonction zêta de Riemann.
R3. Le lecteur qui chercherait la démonstration des dérivées et intégrales des fonctions trigonométriques définies ci-après devra se reporter au chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral (cf. section d'Algèbre) où les dérivées et intégrales des fonctions usuelles que nous pouvons trouver dans les formulaires sont toutes démontrées.
RADIAN
Quand nous parlons de trigonométrie, la première chose qui devrait venir à l'esprit et s'imposer comme tel comme standard de mesures d'angles plans (voir le chapitre de géométrie plane pour la définition du concept d'angle) est la notion de "radians".Définition: 1 "radian" (noté [rad]) est l'angle plan décrit par une sécante à un cercle, passant par son centre, tel que l'arc de cercle ainsi défini par l'axe horizontal passant par le centre du cercle et la sécante soit d'égale longueur au rayon de ce cercle.
Par exemple, pour un cercle de rayon
Dès lors il vient que l'angle pour "un tour" du cercle sera de :
Malheureusement dans les écoles, les professeurs du primaire apprennent encore aux enfants à mesurer les angles en degrés. Heureusement la conversion à faire n'est pas trop difficile... (c'est une simple règle de trois).
Soit r la mesure d'un angle en radians, d la mesure du même angle en degrés et g la mesure du même angle en grades (vieille unité) nous avons par définition :
TRIGONOMÉTRIE du CERCLE
Soit la figure ci-dessous représentant un cercle quelconque centré à l'origine dans une base directe :(20.4)
A partir de cette représentation, nous pouvons définir des êtres mathématiques nommés "fonctions trigonométriques du cercle" appelées aussi parfois par les anciens (...) "fonctions cyclométriques" telles que (pour les plus importantes):
Remarques:
R1. Lisez "cosinus" pour
"cos", "sinus"
pour "sin", "tangente"
pour "tan", "cotangente"
pour "ctg", "sécante"
pour "sec", "cosécante"
pour "csc".
R2. Lorsque le contexte le permet et qu'il ne peut y avoir d'ambiguïté, les parenthèses après le nom de la fonction trigonométriques peuvent être omises (c'est souvent le cas en physique).
R3. Les fonctions arc... sont donc les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques (fonctions bijectives) correspondantes!
A partir des
ces fonctions, nous pouvons faire des combinaisons et tirer des
relations remarquables très simples mais dont l'utilité profonde
est discutable (et qui sont très peu utilisées) telles que :R2. Lorsque le contexte le permet et qu'il ne peut y avoir d'ambiguïté, les parenthèses après le nom de la fonction trigonométriques peuvent être omises (c'est souvent le cas en physique).
R3. Les fonctions arc... sont donc les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques (fonctions bijectives) correspondantes!
(20.8)
P1. Si nous nous plaçons dans l'étude du cercle dit "cercle trigonométrique", il faut poser pour les définitions ci-dessus
Effectivement, si
Remarque: Dans la mesure des "angles
orientés", nous disons que deux mesures sont
congrues modulo
si et seulement si leur différence est un multiple de
.
Cela caractérise deux mesures d'un même angle.
Par définition, sinus
et le cosinus de tout nombre réel font partie de l'intervalle (20.13)
(20.14)
Le lecteur devrait à ce point, remarquer sans
trop de peine les propriétés suivantes (très
souvent utilisées en physique!) :
et reconnaître facilement que le sinus est
une fonction impaire et la fonction cosinus une fonction paire
(constat qui
nous sera souvent utile dans divers développements mathématiques
sur les séries trigonométriques).
Nous avons
vu au début de ce chapitre, que de par la définition des fonctions
trigonométriques nous avons :(20.23)
(20.25)
plot3d(sin(sqrt(x^2+y^2))/(sqrt(x^2+y^2)),x=-20..20,y=-20..20);
(20.26)
RELATIONS REMARQUABLES
Le dessin ci-dessous va nous permettre d'établir des relations qui permettront de résoudre des équations impliquant des fonctions trigonométriques (toutes ces relations sont de première importance en physique pour la simplification de la résolution de problèmes).(20.27)
Donc:
Soit les relations déjà démontrées précédemment:
(1)

(20.52)
(2)
Posons
Toutes ces relations nous seront utiles lors de
notre étude de la physique générale et particulièrement dans le
cas de calcul d'intégrales.
THÉORÈME DU COSINUS
Démontrons encore le théorème du cosinus, utile en géométrie:Dans un triangle quelconque, le carré d'un des deux côtés est égal à la somme des autres diminués du double produit de ces deux côtés par le cosinus de l'angle compris entre eux :
(20.59)
Remarque: Le théorème du cosinus est parfois
appelé
"formule d'Al-Kashi", par
ailleurs si a est l'hypoténuse son angle opposé
un angle droit tel que
est nul et nous retrouvons donc le théorème de Pythagore.
Voici pourquoi nous appelons parfois la formule d'Al-Kashi "formule
de Pythagore généralisée".
THÉORÈME DU SINUS
Soit le triangle quelconque dont nous traçons deux hauteurs :(20.63)
TRIGONOMÉTRIE HYPERBOLIQUE
Nous avons démontré en analyse fonctionnelle que toute fonction f(x) peut se décomposer en un fonction paire et impaire tel que :
Par opposition à la trigonométrie du cercle, le lecteur remarquera et vérifiera facilement que nous avons :
Donc:
1. La première de ces deux relations, constitue pour l'ensemble de définition donné, un cercle de rayon unité centré à l'origine. Le lecteur remarquera qu'il est assez curieux pour la trigonométrie du cercle d'obtenir un cercle...
2. La deuxième de ces deux relations, constitue pour l'ensemble de définition donné, une hyperbole équilatérale orientée selon l'axe X dont le sommet est S(1,0) à et de foyer
Ces deux dernières constations devraient permettre, nous l'espérons, au lecteur de comprendre l'origine du nom de la trigonométrie hyperbolique et de constater que l'étude la trigonométrie hyperbolique sur l'hyperbole est l'analogue de l'étude de la trigonométrie du cercle sur le cercle.
Si nous représentons le cercle trigonométrie et l'hyperbole trigonométrique et rajoutons quelques information complémentaire, voici ce que nous obtenons :
(20.96)
Pour tracer à la règle et au compas le point P(x,y) de l'hyperbole, nous nous donnons x, donc le point A(x,0). Nous traçons la tangent au cercle (C) qui relie A(x,0) ce qui nous donne le point de tangence T. Nous traçons le cercle (G) de centre A(x,0) et passant par T. Ce cercle coupe P(x,y) à la perpendiculaire en A(x,0) à Ox.
Nous voyons apparaître sur la figure plusieurs valeurs des fonctions hyperboliques correspondant à
Si le lecteur veut s'assure de cette constat de faits que donne la figure, il pourra contrôler qu'en tout point de l'hyperbole, nous avons toujours les relations (entre autres) :
Si nous traçons maintenant sur un graphique :
(20.99)
Nous retrouverons la fonction cosh(x) dans
le chapitre de Génie Civil par exemple dans le cadre des
câbles
suspendus.
RELATIONS REMARQUABLES
Soit par définition :Pour la première :
Signalons encore d'autres relations remarquables
:
TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE
L'objectif de la trigonométrie sphérique est de déterminer les relations remarquables existants entre les angles et les côtés de formes projetées (dites également "formes géodésiques" car suivant la courbure de l'espace) sur la surface d'une sphère. Pour déterminer ces relations, nous allons nous intéresser au cas particulier d'une sphère de rayon unité et des relations entre les côtés d'un triangle (élément de surface plane élémentaire) et les différents angles existants. Nous verrons que les résultats sont au fait indépendants du rayon de la sphère et de la forme considérée initialement.
Soit la figure sur laquelle se trouve un triangle géodésique de sommets A, B, C d'angles d'ouverture respectifs
(20.109)
Rappelons que le périmètre d'un cercle de rayon unité sur la sphère de rayon unité vaut bien évidemment
(20.117)
Il est que les sinus de tous les angles sont positifs (puisque inférieurs à
Comme la trigonométrie sphérique est souvent utilisée pour des repérages terrestres, avec souvent 2 cercles très particuliers et orthogonaux : l'équateur terrestre et un méridien ou un parallèle quelconque, ce cas revêt un intérêt particulier. Le lecteur pourra s'exercer à retrouver les relations ci-dessous. Dans le cas d'un triangle rectangle en A nous avons bien évidemment:
Remarque: Nous définissons "l'excédent"
ou "excès sphérique" par
le nombre:
(20.126)
Pendant que nous y somme, profitons-en
pour calculer un problème classique qui est celui de la surface
d'un triangle sur une sphère. Soit la figure:(20.127)
Il faut enlever deux fois la surface de ce triangle bleu pour obtenir la surface de la demi-sphère:
Il est assez simple de généraliser ce concept à d'autres formes du même acabit (en particulier celles composées de triangles...).
ANGLE SOLIDE
Il se pose le problème dans la géométrie spatiale le concept d'angle d'ouverture d'une portion de l'espace (en extension à l'angle dit "angle plan"). Nous définissons alors "l'angle solide"(20.136)
(20.139)
Si nous traçons la sphère S de centre O et de rayon r, cet angle solide découpe sur cette sphère une calotte d'aire dS :
Nous pouvons encore calculer à partir des concepts précédents, l'angle solide élémentaire de révolution tel que présenté sur la figure ci-dessous :
(20.144)
Dans le chapitre traitant des Formes Géométriques (cf. section de Géométrie) nous avons démontré les différentes manières de calculer la surface d'une sphère. De ces calculs il avait été déduit que la surface élémentaire à R constant était:
contenu en provenance du site sciences.ch
et
http://mathematique.coursgratuits.net