PRINCIPES ET THÉORÈMES FONDAMENTAUX-CALCUL DES RÉSIDUS


CALCUL DES RÉSIDUS - PRINCIPES ET THÉORÈMES FONDAMENTAUX.

1. Soient deux fonctions réelles des variables réelles x, y, u(x; y) et v(x; y), continues et uniformes dans un domaine connexe T, ainsi que leurs dérivées du premier ordre, et vérifiant les relations
pour tout point de ce domaine. On dit que l’expression
représente une fonction analytique de la variable complexe  qui est holomorphe dans le domaine T.
Désignons par les accroissements que prennent  lorsqu’on passe d’un point x, y de T à un point voisin
on obtient aisément, en se servant des relations (1),
tendant vers zéro avec La dernière égalité nous apprend que la fonction f (z) admet, pour chaque point du domaine T, une dérivée unique
qui reste continue dans T.

Inversement, étant donnée une fonction quelconque de z, continue et uniforme
dans T et admettant, en chaque point de ce domaine, une dérivée unique qui y reste continue, on constate immédiatement qu’elle peut se mettre sous la forme (2),
jouissant des propriétés énoncées au début : c’est donc une fonction analytique de z, holomorphe dans le domaine T.
Cette seconde définition met en évidence que, si  sont des fonctions analytiques, holomorphes dans un domaine donné, il en est de même de leurs somme, différence et produit, ainsi que de leur quotient, si le dénominateur ne s’annule pas dans le domaine.
2. Il nous semble commode de rattacher les propriétés fondamentales des fonctions analytiques au théorème suivant :
Toute fonction analytique f (z), uniforme et holomorphe dans un domaine T à connexion simple, est la dérivée d’une autre fonction F(z) jouissant des mêmes propriétés. Cette fonction intégrale F(z) est déterminée à une constante additive près.
En posant , la condition donnée :  ou bien  entraîne les deux suivantes :
On est donc ramené à démontrer l’existence, dans le domaine T, d’une fonction intégrale continue et uniforme d’une différentielle totale
les expressions M(x; y) et N(x; y) étant elles-mêmes continues et uniformes dans T, ainsi que leurs dérivées premières, et vérifiant en chaque point de ce domaine la condition d’intégrabilité
On voit d’abord que, s’il existe deux fonctions intégrales jouissant des propriétés indiquées, leur différence se réduira nécessairement à une constante. En
effet, les dérivées de cette différence étant nulles en chaque point de T, elle gardera une valeur constante sur tout segment de droite intérieur à T et parallèle à l’un ou l’autre des axes de coordonnées. Or deux points pris arbitrairement dans T peuvent toujours être reliés par une ligne composée de semblables segments.

Ayant fixé à l’intérieur de T un point  imaginons que, pour atteindre un autre point x,y du même domaine, on chemine de  parallèlement à l’axe des x jusqu’au point  puis parallèlement à l’axe des y jusqu’au point considéré x, y.
Cette ligne brisée sera comprise tout entière dans T si l’on suppose le point x; y intérieur à une certaine portion de ce domaine que nous désignerons par T0.
Cela posé, en admettant qu’il existe une fonction continue et uniforme dont la différentielle totale soit égale à (4) et qui, au point se réduise à une constante donnée A, la valeur de cette fonction en un point quelconque x; y du domaine T0 sera évidemment représentée par l’expression :
obtenue en ajoutant à la valeur initiale A les accroissements que prendra la fonction intégrale sur chacun des deux segments rectilignes qui relient les points  et
x, y.
Inversement, ayant formé l’expression ci-dessus, on constate immédiatement qu’elle définit, dans le domaine T0, une fonction intégrale continue et uniforme de la différentielle (4). En effet, la chose est évidente pour ce qui concerne l’uniformité et la continuité et, en différenciant, on trouve de suite
puis, en utilisant la condition d’intégrabilité,

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