Les arbres de transmission - Mécanique



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Plan
·       Qu’est ce qu’un arbre?
·       Montage des arbres
·       Choix d’un arbre
1.    Choix de matériaux
2.    Choix de diamètre
·       Critère basé sur résistance
-  code ASME
-  Théorie de cisaillement maximal
-  Théorie de Van Mises-Hencky
·       Critères de rigidité
·       Vitesses critique de rotation
Qu'est-ce qu'un arbre ?
Un arbre, c'est une pièce ...
-         rotative ou fixe, normalement de section circulaire.
-          qui supporte des éléments de transmission de puissance ou de mouvement (engrenages, poulies,ect
 Un arbre  porte les noms suivants :
·        arbre de transmission
·        arbre de renvoi
·        essieu   
Montage des arbres:
clavette.jpeg
·       Les arbre de machines servent le plus  souvent  a transmettre le puissance par l’intermédiaire des éléments ( engrenage ,poulie, cames,..) tous ces éléments doivent êtres monter sur l’arbre , il existe plusieurs types de montage voici les plus utilisés :
·       Montage a clavette
·       Montage a cannelure
·       Montage a force et a retrait
cannelure.jpeg
    conception d’un arbre
-         Choix de matériaux
-         Choix de diamètre
les critères de choix du matériau sont les suivants :
·       Propriétés mécaniques
·       Disponibilité
·        coût
·       ………
·       Fonction : transmettre de la puissance longtemps et à bon coût.
Choix de diamètre
Critères de conception d’arbres:
·        Conception basée sur la résistance
·        Conception basée sur la rigidité
·        Conception basée sur la vitesse
Les étapes de conception basée sur la résistance
·       1. Calculer les réactions
·       2. Calculer la répartition des couples de torsion
·       3. Calculer la répartition des moments de flexion dans les
·       plans vertical (Mv) et horizontal (Mh)
·       4. Calculer la répartition du moment de flexion résultant (M)
·       5. Calculer la répartition des forces axiales
·       6.déterminer la section critique
·       7.calculer le diamètre nécessaire pour résister aux charges de la section critique
Conception basée sur la résistance
Trois approches présentées :
·       1. Approche du code ASME.
·       2. Théorie du cisaillement maximal (code Westinghouse).
·       3. Théorie de Von Mises-Hencky (méthode VMHG).
Code ASME
Le calcule de la contrainte maximale de cisaillement  basé sur le cercle de mohr:
Le ASME définit la contrainte admissible comme étant la plus petite des deux valeurs suivantes :
Théorie du cisaillement maximal (code Westinghouse):
·       Basée sur le critère de Tresca et la ligne de Soderberg en fatigue.
·       Prend en charge les valeurs moyenne et alternée des contraintes.
·       Composante moyenne
·       Composante alternée
Code Westinghouse (cas général)
·       Ta et Ma - composantes variables
·       Tm et Mm - composantes statiques (moyennes)
Théorie de Von Mises-Hencky (méthode VMHG):
·       Basée sur le critère de Von Mises et la ligne de Goodman en fatigue.
·       Un arbre en rotation est soumis à :
·               des contraintes de flexion variables  causées  par un moment constant
·             des contraintes de cisaillement variables  causées par un couple variable
·           des contraintes axiales causées par une charge axiale constante
Procédure pour la méthode VMHG:
·       Identifier les sollicitations sur l’arbre et calculer la valeur approximative de d (code ASME, par exemple).
·        Calculer les composantes statiques et variables des contraintes résultantes.
·       Calculer les contraintes de Von Mises σm’ et σa’.
·        Appliquer l’équation de conception de Goodman.
·        Calculer le FS (vérification) ou d (conception).
·        Répéter les calculs (1 à 5) en cas de besoin.
ةquations générales pour la méthode VMHG:
Critères de rigiditè :
·       La rigidité d’un arbre dépend :
du diamètre (d) de l’arbre
                du module de Young (E) du matériau
·       Les arbres sont généralement fait d’acier
·        Tous les aciers ont à peu près le même E
     Le diamètre de l’arbre détermine la rigidité
Déformation latérale :
·       Pour les arbres de transmission la flèche maximale doit être   < 0,08 % de la portée entre les supports .
·       Pour les arbres de renvoi la flèche maximale doit être < 0,015 % de la portée entre les supports .
·       Aussi la variation de flèche de part et d’autre d’un engrenage doit être < 0,005 %  .
Méthode de calcul de la déformation latérale :
·       La méthode des moments d’air est basée sur deux théorèmes :
1er thèoreme :
        La différence de pente φAB entre deux points A et B sur une poutre est égale à la surface au-dessous du diagramme M/EI entre les points A et B.
Voici la formule de différence de pente:
2ème thèoreme :
      La flèche tangentielle mesurée verticalement entre un point A sur la poutre et la tangente au point B (AB) est égale au premier moment de surface sous le diagramme M/EI par rapport à A.
·       Ce 2éme théorème nous permet de calculer la flèche tangentielle entre la poutre déformée et la tangente a un point donné choisit  judicieusement entre l’ensemble  des points appartenant a la poutre.
Déformation en torsion :
·       Pour les arbres de transmission l’angle de torsion doit être  < 1°   sur une distance égale a 20 fois le diamètre de l’arbre .
·       Pour les arbres de renvoi l’angle de torsion doit être :
·                < 0,3° par mètre de longueur(charges constantes)
·                 < 0,15° par mètre de longueur(charges subites).
·       On rappele que la formule relative a la dèformation angulaire θ  d’un arbre est :
Avec :    T - couple de torsion appliquè a l’arbre .
              L - longueur de l’arbre.
              G - module de cisaillement.
               J - module d’inertie polaire de la section .


Vitesses critiques de rotation:
C’est la fréquence naturelle de vibrations latérales ou de vibrations de torsion de l’arbre. A de faibles vitesse de rotation , le premier mode est toujours le plus inquiétant. Les autres fréquences de résonance sont des multiples de la fréquence naturelle. A de plus grandes vitesses,





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