Exercices Corrigés de la Construction Mécanique



Exercices Corrigé En Construction Mécanique
                                                                                                                       
                                                                                                                                                                                   
Exercice 1 : PUISSANCE PERDUE PAR FROTTEMENT DANS UN COUSSINET
Un arbre de diamètre d1 = 2R = 20 mm est en liaison pivot d'axe  avec le bâti par l'intermédiaire d'un coussinet de longueur b. La vitesse de rotation de l'arbre par rapport au coussinet est .
Le torseur représentant les efforts exercés par l'arbre sur le coussinet possède une résultante  telle que  (où F = 4000 N) qui est centrée sur le plan médian au coussinet.
Le jeu entre le coussinet et l'arbre est tel qu'il y contact entre ces deux pièces sur toute la longueur du coussinet et sur une demie circonférence de celui-ci.
La composante normale de la force surfacique exercée par le coussinet sur l'arbre pour une section droite d'abscisse x quelconque (cf figure A-1) est donnée par l'expression:
On supposera que le coefficient de frottement f = 0.08 relatif au contact entre l'arbre et le coussinet est le même en tous les points de contact.
On donne les caractéristiques conventionnels limites de matage et de grippage du coussinet:
plim = 70 MPa, (pv) plim = 3 MPa.m.s-1.
La durée de vie Lh (en heures) de ce coussinet sera évaluée par l'expression:

  ou (pv) est exprimée en MPa.m.s-1
1)      Donnez l'expression de la pression conventionnelle pc.
2)      Déterminez la plus faible longueur normalisée b du coussinet  qui permet de réaliser une liaison pivot de durée de vie supérieure à 1000 heures.
3)      Calculez numériquement pc. Y-a-t-il matage ? Y-a-t-il grippage ? Justifiez.
4)      Caractérisez le torseur élémentaire des efforts exercés par le coussinet sur l'arbre.
N.B.: Toute(s) notation(s) supplémentaire(s) devra être clairement définie(s) _ éventuellement sur la figure A-1. Aucune de vos notations ne devra être redondante avec celles du texte.
5)      Calculez l'expression de pM en fonction (entre autres) de la force F puis en fonction de A.
6)      Calculez numériquement pM.
7)      Calculez l'expression du couple de frottement C_c-à-d du moment, suivant l'axe de rotation de l'arbre, exercé par le coussinet sur l'arbre _ en fonction (entre autres) de pM puis en fonction de F.
8)      Calculez numériquement C puis la puissance perdue par frottement P.


Figure A-1: Représentation de la composante normale de la force surfacique exercée par le coussinet sur l'arbre.







Exercice 2 : l'arbre intermédiaire du réducteur à arbre creux

Nous allons nous intéresser à l'arbre intermédiaire du réducteur à arbre creux présenté sur la figure ?? réalisée à l'échelle 0.5.
Toutes les roues dentées de ce réducteur sont à denture droite et possèdent un angle de pression de fonctionnement a = 20°.
On s'intéressera à un régime permanent où la vitesse de rotation est constante et où la puissance motrice est constante et maximum. L'accélération de la pesanteur n'est pas prise en compte.
L'ébauche du dessin de définition de l'arbre intermédiaire du réducteur est présentée sur la figure ?? réalisée à l'échelle 1. On considèrera que chaque roulement réalise une liaison annulaire ou rotule avec l'arbre. Les centres de poussée des roulements sont positionnés par les points Pi et P2.
L'arbre est en acier XC 38 : de limite élastique Re = 335 MPa,
de limite à rupture Rm = 570 MPa,
et de limite d'endurance σD = 150 MPa.
L'arbre possède une rugosité caractérisée par Rt = 10 μ m.
L'effort sur les dentures d'engrenage sera modélisé, pour simplifier, par une force ponctuelle appliquée clans le plan moyen de l'engrenage.
Autres données numériques I
Rayons primitifs des pignons et roues dentées :

Engrenage 1
Engrenage 2
Pignon 1: n = 16 min
Pignon 3 : r3 = 12 mm
Roue dentée 2: r2 = 62 mm
Roue dentée 4 : r4 = 66 mm

Vitesse de rotation sur l'arbre d'entrée: m, = 1560 tr/mn. Puissance maxi: P = 3000 W.
Partie commune [4 pts]
1)      Calculez le couple moteur Cm sur l'arbre d'entrée correspondant à la puissance maxi................................................................................................ [0.5]
2)      Calculez les composantes tangentielle Ft1 et radiale Fr1 de la force exercée au niveau de l'engrenage 1. .......................................  [0.5]
3)      Calculez le couple Ci sur l'arbre intermédiaire correspondant à la puissance maxi. .........................................................................  [0.5]
4)      Calculez les composantes tangentielle Ft2 et radiale Fr2 de la force exercée au niveau de l'engrenage 2. .......................................  [0.5]
5)   En complétant la figure ?? (qui sera rendue avec la copie) effectuez une modélisation nécessaire pour calculer les efforts exercés par chacun des roulements sur l'arbre intermédiaire.
Calculez analytiquement puis numériquement les composantes Y1, Z1, Y2 et Z2 (cf figure ??) des forces radiales exercées par chacun des roulements sur l'arbre intermédiaire. ......................................................................  [2]


Les parties I et II sont indépendantes.



Partie I [12.5 pts]
Dans cette partie vous allez calculer l'arbre à la fatigue sous sollicitations composées et avec concentrations de contraintes en effectuant un calcul dans 3 sections différentes.
6)      Tracez, sur la figure ?? (qui sera rendue avec la copie), les diagrammes des efforts intérieurs à l'arbre intermédiaire en y précisant les valeurs numériques du moment de torsion .Mt et des moments fléchissants Mfy et Mfy [3]
Pour chacune des sections 1, 2 et 3:
7)      Précisez les valeurs numériques de MT, Mf y et .Mfz pour cette section.
8)      En déduire les amplitudes de contrainte nominale de flexion σfa et de torsion τa ainsi que les contraintes nominales moyennes de flexion σfm et de torsion τm (précisez clairement les valeurs nulles).
................................................................................ [2.5]
9)   En utilisant les graphes des figures ?? déterminez les coefficients de concentration de contrainte en statique Kti utiles pour ce calcul.
Pour la section 1, on utilisera les graphes d'un arbre épaulé en prenant d = 20 mm et D = 28 mm.
Pour la section 2, on ne considérera aucune concentration de contrainte.
Pour la section 3, on utilisera les graphes d'un arbre avec gorge à fond circulaire en prenant d = 18 mm et D = 20 mm.     [1]
10)   En utilisant le graphe de la figure ?? déterminez les coefficients de concentration de contrainte en fatigue K fi utiles pour ce calcul.          [1]
11)      En utilisant les graphes des figures Y? et ?? déterminez le facteur d'échelle et de rugosité pour cette section de l'arbre.    [0.5]
12)      En déduire l'amplitude de contrainte équivalente de Von-Mises σeqa, et la contrainte équiva-
lente de Von-Mises moyenne σeqm ,„, ...............................................  [3]
13)      Précisez sur le diagramme de Haigh (cf figure ??) le point caractérisant la sollicitation en fatigue sur cette section et précisez si la tenue en fatigue se fait avec une durée de vie infinie. .... [1.5]
Renouvelez le calcul pour la section suivante

Partie II [3.5 pts]
Dans cette partie, vous allez choisir 2 coussinets courts identiques pour remplacer les 2 roulements.
Le milieu de chacun des 2 coussinets courts sera positionné au même endroit que le centre de poussée
du roulement correspondant.
Vous supposerez, pour les calculs suivants, que la charge radiale supportée par chaque coussinet est centrée sur le coussinet.
Le diamètre de l'arbre, qui sera noté d, au niveau des coussinets ne sera pas modifié.
La largeur identique des coussinets sera notée b.
14)      Donnez, numériquement, la plage de variation de b afin que chaque coussinet réalise une liaison annulaire.     [0.5]
15)      Calculez numériquement la vitesse de rotation ni de l'arbre intermédiaire. ..........................................  [0.5]
16)      Déterminez les forces radiales F1. et F2 exercées sur chacun des 2 coussinets. Vous noterez
F = Max(F1, F2) afin de dimensionner le coussinet le plus chargé. ..  [0.5]
17)      Donnez les relations qui définissent la pression conventionnelle lie et le produit pet,.
Suivant la valeur de b comprise dans la plage précédemment obtenue, calculez les valeurs numériques extrêmes de Pv et de pcv, sur le coussinet le plus chargé.      [2]




 

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