Théorème De Gauss - Cours d’électrostatique

Théorème De Gauss

1 - INTRODUCTION 

Dans le calcul de la circulation du champ électrostatique, nous avons utilisé le fait queest de la formeet nous avons en déduit la relation entre le champ  E  et le potentiel V. Nous allons maintenant déduire une équation du champqui dépend spécifiquement du fait que f(r) est en 1/r². Les développements qui  suivent s’appliquent donc aux champ de la forme

2 - FLUX DU CHAMP ELECTROSTATIQUE  

2-1 - Cas d’une charge ponctuelle

a) Flux élémentaire

  Soit une charge ponctuelle q>0 placée en O et M un point de l’espace (figure 1).  
Le champcréé par q en M est : 
  Soit dS un élément de surface entourant le point M ; orientons la surface dS (figure 1). Le flux élémentaire deà travers la surface orientée est : 
angle solide élémentaire sous lequel du point O on voit la surface élémentaire. Le signe de dΩ dépend de l’orientation de la surface :

b) Flux sortant à travers une surface fermée 

Soit une surface fermée Σ. On se propose de calculer le flux du champ électrostatiquecréé par une charge ponctuelle q à travers la surface fermée  Σ. Plus précisément on s’intéresse au  flux sortant, donc on a choisi d’orienter le vecteurdans le sens de la normale sortante à Σ. Deux cas seront envisagés :
•  le cas où la charge q est située à l’extérieure de la surface Σ
•  et celui où la charge q est située à l’intérieur de la surface Σ
Nous désignons par l’indice i les charges situées à l’intérieur de Σ et par l’indice e les charges extérieures à Σ. Soitle champ créé par qi etle champ créé par qe. 

1èr Cas : La charge est située à l’extérieur de Σ

  Nous pouvons calculer le flux sortant de la surface fermée Σ (figure 2) à partir des flux élémentaires. En effet, traçons un cône élémentaire de sommet O (où se trouve la charge extérieur à  Σ, qe) et d’angle solide  |dΩ| . Ce cône découpe sur la surface  Σ deux surfaces élémentaires dS1 en M1 et dS1’ et M1’. Soient les vecteurs sortant des surfaces dS1 et dS1’. L’angle solide sous lequel du point O on voit les surfaces élémentaires orientées dS1 et dS1’, a la même valeur absolue, mais de signes opposés à cause de l’orientation du vecteur normalpar rapport à(figure 2) :


    Si on considère le flux du champcréé par la charge qe située en O, sortant des surfaces dS1 et dS1’, d’après (1) et (2), on obtient :  

  Pour obtenir le flux desortant de la surface Σ,, on peut balayer toute la surface Σ à l’aide de cônes élémentaires tels que celui de la figure 2. Chacun de ces cônes intercepte sur la surface Σ une paire de surfaces élémentaires dS1 et dS1’ telles que leur contribution au flux total,.

  On en conclut que le flux du champ électrostatique crée par une charge ponctuelle située à l’extérieur d’une surface fermée Σ, sortant de la surface Σ est nul : 


2ème Cas : La charge est située à l’intérieur de Σ

  Soit (C) le cône élémentaire de sommet O et d’angle solide dΩ1 (figure 3).
Dans ce cas, l’angle solide sous lequel du point O on voit dS1 est égal à l’angle solide sous lequel de O on voit dS1’ : 
.   Ainsi, la paire de surface élémentaire dS1 et dS1’ découpées par un cône élémentaire de sommet O (ou se trouve la charge qi) donne une contributionau flux total, non nulle. 
  Le flux élémentaire  dΦi crée parà travers une surface élémentaire dSi (figure 4) est donnée par : 

  Le flux total sortant de  Σ est la somme des flux élémentaires dΦi :


est l’angle solide sous lequel du point O, on voit la surface fermée Σ ; Ωi est donc l’angle solide sous lequel du point O on voit tout l’espace :
Le flux du champ électrostatique créé par une charge ponctuelle située à l’intérieur d’une surface fermée Σ, sortant de la surface Σ est égal à :  
Ainsi, le flux total du champ électrostatique créé par une charge ponctuelle est : 
Cette relation relie le flux à travers une surface fermée (Σ) et les échanges à l’intérieure de cette surface. 

2-2 - Cas de n charges ponctuelles

 Considérons ni charges à l’intérieure d’une surface fermée  (Σ) et ne charges situées à l’extérieure de cette surface. Le champcréé par les n chargesest la somme vectorielle des champs créées par chacune des charges :
 Le flux du champsortant de la surface Σ est : 
D’après (3) et (4), on a : 
Le flux sortant de la surface  fermée  Σ est égal à la somme, divisée par  ε0, des charges intérieures à la surface Σ :
avec, Qint : charge totale intérieure à Σ
Ce résultat constitue le théorème de Gauss. 

2-3 - Cas d’une distribution continue de charge

On peut écrire le théorème de Gauss dans le cas où la distribution de charges est continue et décrite par une densité volumique de charges ρ. La charge totale intérieure à Σ, c’est à dire contenue dans le volume v limité par la surface fermée Σ est :
Où v est le volume délimitée par (Σ). 
Dans ce cas le théorème de Gauss s’écrit, v étant le volume limité par la surface (Σ) : 
C’est l’expression du théorème de Gauss sous la forme intégrale. 

2-4 - Validité du théorème de Gauss

Précisons que ce théorème est obtenu à partir de la loi de Coulomb (loi fondamentale de l’électrostatique). Ce théorème reste valable quand les charges sont en mouvement.
Le théorème de Gauss est une conséquence :
1)  de la loi en 1/r²  régissant les interactions entre les charges électriques
2)  du caractère central des forces électrostatiques
3)  du principe de superposition
Nous présentons dans le tableau ci-dessous la formulation du théorème de Gauss pour le champ électrostatique.


Cependant, ce théorème est également valable pour tous les champs de vecteurs de la forme, en particulier pour le champ de gravitation

3 - SYMETRIE ET INVARIANCE DE LA DISTRIBUTION DE CHARGE ET CARACTERISATION DU CHAMP ET DU POTENTIEL

On rappelle que le calcul  du champ électrostatique  E , crée par une distribution de charge de densité volumique ρ peut être mené, soit à partir :
•  de la loi de Coulomb :

•  du potentiel V : 
où τ est le volume de la distribution de charge, et C est un contour fermé.
•  du théorème de Gauss sous sa forme intégrale: 

est la normale à la surface fermée englobant la charge q. 

3-1- Symétries des sources ( causes) et des effets crées : Principe de Curie  

Les effets présentent les mêmes symétries que leurs causes. Les éléments de symétrie des causes (distributions D ou sources) doivent donc se retrouver dans les effets (et V) produits. 

a) Distribution de charge présentant un plan de symétrie pair (Π) 


On dit qu’une distribution de charge (D) est symétrique par rapport à un plan Π, si pour deux points P et P’ symétriques par rapport à Π, on a (figure 5) :
.


Pour illustrer ce cas, nous prenons deux charges identiques q placées en P et P’, où P’ est le symétrique de M par rapport au plan Π.
Soit M’ le symétrique du point M par rapport au plan Π. On peut constater sur la figure 6 que le champ en M’ est le symétrique du champ en M : 


On remarque que les composantes du champ parallèles au plan de symétriesont conservées alors que celles perpendiculaires au plansont inversées : 
 En particulier, en un point du plan de symétrie (M = M’) on a (figure 7): 

Le champ électrique est contenu dans le plan de symétrie paire. Dune façon générale tout vecteur polaire est contenu dans le plan de symétrie paire (figure 7). 

b) Distribution de charge présentant un plan de symétrie impair (Π’) 

Une distribution de charge possède un plan de symétrie impaire  Π’, si pour deux points P et P’ symétriques par rapport à Π’, on a
Pour illustrer ce cas, nous prenons deux charges q et – q placées en P et P’, où P’ est le symétrique de M par rapport au plan Π’. 

Soit M’ un point symétrique de M par rapport à Π’, On peut constater sur la figure 8 que le champ en M’ est l’opposé du symétrique du champ en M : 

 A l’inverse du cas précèdent, on remarque sur la figure 8 que les composantes du champ parallèles au plan de symétrie impair  Π’ sont opposées alors que celles perpendiculaires au plan  sont conservées : 
 Si M appartient au plan de symétrie impaire (M = M’), on aura (figure 9) : 
Tout vecteur polaire est perpendiculaire à un plan de symétrie impaire. 

c) Conséquences

Lors d’une opération de symétrie appliquée à la distribution de charges (D), le champ électrostatiquesubit la même opération. On dit que le vecteur champ électrique est un vecteur  polaire ou “vrai” vecteur. Ce vecteur a les mêmes propriétés de symétrie que ses sources.
Les plans de symétrie nous permettent souvent de trouver la direction du champ en un point M. Pour trouver la direction du champen un point M, il suffit de trouver :
* Soit deux plans de symétrie passant par M. Le champappartenant  à ces deux plans. Il est donc porté par la droite formée par leur intersection.
* Soit un plan de symétrie impair passant par M. La direction du champau point M est donnée par la normale au plan de symétrie impaire.
Les plans de symétrie permettent d’obtenir les composantes du champ

3-2 - Invariance de la distribution de charge

a) Invariance par translation le long d’un axe

Les variables dont dépendent ces composantes sont obtenues en étudiant les invariances de la distribution de charges.
Dans la plupart des cas nous utilisons des distributions idéalisées, par exemple pour calculer le champ crée par un fil en un point M de  l’espace homogène et isotrope, très proche du fil, on peut considérer que le fil est infini. Considérons l’exemple d’un fil rectiligne caractérisé par une densité linéique λ uniforme.
Si on translate le fil  parallèlement à lui même d’un vecteur, la nouvelle distribution D’ coïncide avec D (puisque le fil est considéré infini et la distribution de charge est uniforme). (figure 10-a).



On a : 
D’après le principe de Curie, le champet le potentiel V(M) sont inchangés en un point M quelconque de l’espace homogène et isotrope :  
Pour un autre point quelconque M’ tel que:
on a aussi (10-b) :
Comme une opération de translation ne modifie pas le vecteur, il vient :
On obtient finalement 
Si une distribution de charge admet une  symétrie de translation, les grandeurs physiques ne dépendent pas de la variable décrivant axe de translation. Si par exemple, on repère le point M par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z) et que (annexe 1), les relations précédentes deet V s’écrivent 
Ces relations doivent être invariantes quelque soit z0 : 
L’existence de cet élément de translation a permis de limiter le nombre de variables indépendantes (x, y, z) aux deux coordonnées x et y. 

b) Invariance par rotation autour d’un axe

Considérons une répartition de charge D de densité volumique uniforme ρ présentant un axe de révolution, c’est à  dire  si  on  fait  subir à cette distribution une rotation d’angle  θ autour de cet axe, la nouvelle distribution D’ coïncide avec la précédente (la distribution reste invariante) (figure 11-a).
On a : 


D’après le principe de Curie, cette opération de symétrie pour D l’est aussi en un point M de l’espace homogène et isotrope, pour.
Si on considère un point M’ quelconque obtenu par rotation du point M d’un angle θ on aura (figure11-b) : 

Si nous choisissons les coordonnées cylindriques (ρ, θ, z) (annexe 1) et  Oz  l’axe de symétrie de rotation de la distribution le potentiel et le champ électriques ne doivent pas dépendre de θ car le système est invariant lors de la rotation : 
On voit que l’existence d’un axe de révolution et le choix approprié du système de coordonnées, ont permis de limiter le nombre de variables indépendantes dont dépendentet V (ici a deux ρ et z). 

4 - CONCLUSION

Le théorème de Gauss établit une relation entre le flux du champ électrique à travers une surface fermée et la charge à l'intérieur de cette surface. Cette  relation a les propriétés suivantes :
- elle reflète les propriétés générales des champs électriques et ne se limite pas aux champs électrostatiques (contrairement à la loi de Coulomb);
- elle permet de déterminer plus simplement l’expression du champ électrostatique créé par les distributions de charges qui présentent une symétrie appropriée (sphérique, cylindrique, plan, etc.).



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