Modélisation cinématique des liaisons -Cours Mécanique

I. Contact entre solides

I.1. Géométrie des contacts

Le contact entre deux solides peut être soit surfacique dans le cas où la surface de contact est importante (plane, cylindrique, sphérique, conique, …), soit linéique ou ponctuel lorsque le contact se fait selon une petite surface.

Les  deux  solides  1  et  2  sont  en  contact  suivant  une surface (S).
M est un point de la surface (S).
      π  est le plan tangent aux solides 1 et 2, en M.
est la normale en M au plan π, extérieure au solide 2.

Exemples de contacts :
Contact plan/sphère : ponctuel ;
Contact plan/cylindre : linéaire rectiligne ;
Contact plan/plan : surfacique plan ;
Contact cylindre/sphère : linéaire annulaire ;
Contact cylindre / cylindre : surfacique cylindrique ;
Contact sphère /sphère : surfacique sphérique.


I.2. Repère local  


En général, le repère local associé à un contact entre deux solides n'appartient à aucun des deux solides.
De plus, l'origine sera plutôt placée en un point caractéristique du contact et les vecteurs directeurs de sa base correspondent dans la mesure du possible à des axes de symétrie, de révolution, ...
Enfin, il sera choisi de sorte que les mouvements élémentaires soient indépendants.

I.3. Degré de mobilité  


Soitle repère local, associé au contact entre deux solides 1 et 2.


Le  degré  de  mobilité  associé  au  contact  entre  deux  solides,  est  le nombre de mouvements élémentaires indépendants qu’il autorise. 
Au maximum, ce nombre est égal à 6 : 
o  3 translations Tx, Ty, Tz ; 
o  3 rotations Rx, Ry, Rz.          


Le  degré  de  liaison  est  au  contraire  le  nombre  de  mouvements élémentaires indépendants que le contact interdit.

Remarque : déplacements et petits déplacements




Dans  le guidage d’un solide par rapport à un autre, certains mouvements peuvent se faire avec de fortes amplitudes,    et  d’autres  sont  dus  uniquement  à  la  présence  de  jeux  fonctionnels,  de  déformations  de solides, …. 
Biens que petits, ces déplacements sont d’une  importance capitale car  ils peuvent permettre un montage plus aisé, des tolérances de fabrication plus importantes, des actions mécaniques amoindries, …


Si  l’ajustement  entre  les  deux  pièces  est  avec  jeu,  les  déplacements  possibles  sont  une rotation autour de l’axe et une translation.
La longueur de guidage est grande devant le diamètre de l’ajustement.

Ici, la longueur de guidage est courte devant le diamètre de l’ajustement.
Les deux mouvements de rotation et translation sont toujours possibles.



                         

Pourtant,  si  l’on  exagère  le  jeu  j  du  guidage,  on  voit  que  l’axe  2  peut  aussi pivoter suivant des directions transversales à son axe.
On  dit  alors  qu’il  peut  « rotuler »  (3  mobilités  angulaires),  en  plus  de  la translation.
Sans  faire  le  calcul  analytique,  on  voit  que  pour  un  jeu  j  et  un  diamètre  D
donnés,  l’angle  γ  pourra  être  d’autant  plus  important,  que  L  est faible
Dans  le  cas  où  L>1,5×D,  on  a  pour  habitude  de  négliger  ces  petits déplacements.
Notons  que  si  j  est  important  (dans  la  pratique,  ce  n’est  pas  le  cas),  l’axe  2 pourrait  même  translater  de  façon  non  négligeable,  transversalement  à  son axe. 



Prenons le cas d’un roulement à billes.
Entre  la  bague  intérieure  et  la  bague  extérieure,  il  y  a  principalement  un déplacement angulaire possible, autour de l’axe du roulement.
Pourtant,  les  constructeurs  annoncent  des  angles  de  rotulage  pouvant  aller jusqu’à 4 ° dans certains cas.
En  fait, ces petits déplacements angulaires, autorisent des  flexions de  l’arbre à guider, des défauts d’alignement, …
Dans la mesure où l’on n’arrive pas en butée de ces petits mouvements, ils devront donc être pris en compte dans la modélisation des liaisons.

I.4. Cinématique du contact ponctuel entre deux solides



Soient  deux  solides  1  et  2,  en  contact  modélisé  comme ponctuel en I, et (π) le plan tangent commun en I aux deux
solides, de normale .
Le torseur cinématique du mouvement de 2 par rapport à 1,

 

a. Vecteur vitesse de glissement


Le vecteur vitesse de glissement au point I dans le mouvement de 2 par rapport à 1, est

Pour un maintien du contact, il est situé dans le plan (π) et
De plus, on a la relation de composition des vecteurs vitesses au point I : 
On dit qu’il y a adhérence (ou non glissement)  lorsque

b. Vecteurs vitesse de rotation de roulement et de pivotement 


II. Liaisons normalisées entre solides 


Lorsqu’un solide est en contact avec un autre solide, on dit qu’ils sont liés.
Parmi toutes les liaisons envisageables, l'afnor (Association Française de NORmalisation) a retenu les plus courantes, et les a normalisées.
Ces liaisons sont supposées géométriquement parfaites, sans jeu et sans frottements. 

 

III. Mécanismes 

Un mécanisme est un ensemble de solides  liés entre eux par des  liaisons, dans  le but de réaliser une ou
plusieurs fonctions.
Exemple : pompe "5 pistons" CITROËN : 


 

III.1. Structure d’une chaîne de solides : graphe des liaisons


Une  classe  d'équivalence  (ou  sous-ensemble  fonctionnel),  est  constituée  de  solides  appartenant  à  un mécanisme et répondant à la relation d'équivalence "sans mouvement relatif".
Ces solides peuvent être en liaison encastrement les uns aux autres, mais ce n'est pas une obligation.
En phase de fonctionnement normal, de maintenance, de réglage, …, un mécanisme peut avoir des sous-ensembles fonctionnels différents. 



L'ensemble des classes d'équivalence d'un mécanisme doit être représentatif de celui-ci.
Toutefois, les éléments d'assemblage (vis, écrou, clavette, goupille,...), les pièces déformables (ressorts,...), les éléments de roulements, ..., ne sont en général, pas pris en compte. 




En  ne  prenant  en  compte  qu'un  piston,  les  différentes  classes  d’équivalence  renumérotées,  sont  les
suivantes :   corps=0  ;  arbre=1  ;  piston=2  ; plateau=3 .

Un  graphe  de  structure  (ou  graphe  des  liaisons),  est  un  graphe  représentant  les  différentes  classes d'équivalence (ce sont les noeuds) reliés entre eux par des traits matérialisant les liaisons.
On y ajoute aussi le nom des différentes liaisons ainsi que leurs caractéristiques géométriques. 


Exemple : pompe CITROËN « 5 pistons » 



III.2. Chaînes ouvertes - fermées - complexes

 

a. Chaînes ouvertes


Un mécanisme à chaîne ouverte de solides est, le plus souvent, un robot.
Le  premier  solide  étant  le  bâti  et  le  dernier  l'élément  de  préhension  ou pince.

Le graphe de structure d’une chaîne ouverte présente l’allure suivante : 


  


b. Chaînes fermées


Le graphe de structure présente la forme suivante : 

c. Chaînes complexes


Une chaîne complexe est constituée de plusieurs boucles fermées appelées cycles


IV. Liaisons cinématiquement équivalentes  



Afin  de  réduire  le  nombre  de  liaisons  dans  un  mécanisme,  on  peut  être  amené  lors  d'une  approche cinématique à chercher des liaisons fictives équivalentes à un ensemble de liaisons réelles.
Cette recherche peut se faire analytiquement ou intuitivement.
Deux cas peuvent alors se présenter selon que les liaisons sont en série ou en parallèle. 

 

IV.1. Liaisons en série 


 
La relation de composition des vitesses en écrivant tous les torseurs au même point, permet de déterminer 

le torseur cinématique de la liaison équivalente :
Par  identification  avec  les  torseurs  cinématiques  des  liaisons  normalisées,  on  détermine  la  liaison cinématiquement équivalente. 

 

IV.2. Liaisons en parallèle




La  compatibilité  cinématique  des  n  liaisons  en  parallèle  avec  la  liaison  équivalente,  s'exprime  par  une identité des composantes de tous ces torseurs réduits au même point : 


Exemple : pompe CITROËN « 5 pistons »

Dans  le graphe de structure non simplifié, on a en parallèle une  liaison  rotule, avec une  liaison sphère  /
cylindre. 

Intuitivement, la liaison équivalente est une liaison pivot d’axe 


Analytiquement, on peut écrire :  


On peut alors écrire l’allure du torseur cinématique de la liaison équivalente :
C'est une liaison pivot, d’axe .Par suite, voici le graphe de structure simplifié : 

V. Schéma cinématique 



Le  schéma  cinématique  est une  représentation plane ou  spatiale,  simplifiée, du mécanisme, utilisant  les symboles normalisés des liaisons entre solides.
C'est un outil de communication technique, un préalable à tout calcul de mécanique.
Le schéma cinématique minimal (fonctionnel) est le schéma qui permet la description des liaisons entre les sous-ensembles cinématiquement équivalents.
Le  schéma  d'architecture  permet  de  calculer  les  actions  mécaniques  dans  les  liaisons  élémentaires associées en série ou en parallèle.
Il peut donc exister plusieurs schémas cinématiques d'un même mécanisme selon l'étude envisagée. 

Exemple : pompe CITROËN « 5 pistons » 



VI. Fermeture de la chaîne cinématique 

VI.1. Relations entre les paramètres géométriques  


On  est  souvent  amené  à  rechercher  des  relations  entre  les  paramètres  géométriques  d’un  mécanisme
(dimensionnels ou angulaires).
Notamment  la  loi  "entrée  -  sortie"  est  la  relation  entre  les  paramètres  de  position  de  la  pièce d'entrée (mouvements pilotes) et les paramètres de position de la pièce de sortie du mécanisme.

Dans l'exemple de la pompe CITROËN, la pièce d'entrée est l'arbre et la pièce de sortie est le piston.

La loi "entrée - sortie" s'obtient en exprimant la fermeture géométrique de chacune des chaînes fermées ou cycles du graphe de structure du mécanisme.

Pour chaque cycle, on obtient deux relations vectorielles : 


-l'une, caractérise les positions relatives des points caractéristiques des liaisons.  

-l'autre, caractérise les orientations relatives des bases associées à chaque liaison.
Dans  le  cas  de mécanisme  plan,  toutes  les  rotations  relatives  se  font  suivant  une  seule direction et on obtient une relation scalaire du type(fermeture angulaire). 



Dans le cas d’un mécanisme plan, la fermeture géométrique donnera :
•  2 équations scalaires de fermeture dimensionnelle ;
•  1 équation scalaire de fermeture angulaire,
Soient au total 3 équations scalaires pour un cycle.
Il  faut  dont  au  moins  4  degrés  de  liberté  cumulés  dans  les  différentes  liaisons  (soient  4  paramètres variables), pour que le mécanisme soit mobile, et que l’on puisse trouver une loi entrée / sortie.

Dans le cas d'un mécanisme spatial, le nombre d’équations peut aller jusqu’à 6, pour un cycle.
Pour  déterminer  une  loi  entrée  /  sortie,  on  préfère  alors  traduire  que  la  valeur  d'un  angle  est constant (souvent  l'orthogonalité)  entre deux vecteurs de  base,  imposé par  certaines  liaisons,   par  l'intermédiaire d'un produit scalaire. 


Les relations sont alors du type 


Enfin, on sera quelques fois amené à simplifier un mécanisme, c’est à dire à négliger certaines mobilités, afin de proposer une modélisation plane, et simplifier les calculs.
 

VI.2. Relations entre les vitesses 


Pour obtenir des relations entre les vitesses, il est possible de dériver les équations issues de la fermeture géométrique.

Il est aussi possible d’utiliser la composition des torseurs cinématiques.
Pour chaque cycle du graphe de structure, on peut écrire une relation du type :  

Cette méthode conduit souvent à des calculs fastidieux car il faut réduire tous les torseurs au même point.

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