Cinématique des systèmes de solides - Cours Mécanique de solides

Somaire :

∎ 1.SYSTÈME DE SOLIDES
∎ 2.TABLEAU DES LIAISONS NORMALISÉES
∎ 3. CINÉMATIQUE DU CONTACT ENTRE DEUX SOLIDES
∎ 4.MODÉLISATION CINÉMATIQUE
∎ 5.A RETENIR

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1.SYSTEME DE SOLIDES

◊  Définitions

Lorsque la mécanique du solide est appliquée  à des mécanismes, les mouvements relatifs entre solides sont limités par l’existence de liaisons entre les différentes pièces du mécanisme. 
Ainsi, un système de solide est il constitué de deux sous-ensembles, l’ensemble des solides indéformables et l’ensemble des liaisons entre solides. Par la suite, le système de solides sera enrichi d’un troisième sous-ensemble, l’ensemble des actions mécaniques. Le système de solides pourra donc être représenté par des graphes, dont l’analyse permet de définir le nombre d’inconnues cinématiques du système. Par ailleurs, cette représentation permet  d’aider au choix des sous-systèmes à isoler, des théorèmes généraux à appliquer et des projections pertinentes à effectuer. 
Graphe cinématique : les liaisons constituent les sommets, les solides constituent les arcs.
Graphe de structure : les solides constituent les sommets, les liaisons constituent les arcs.  



◊  Types de liaisons

-  Liaison unilatérale/bilatérale
Lorsqu’une liaison du fait même de sa réalisation technologique ne peut pas être rompue (sauf par destruction du système), elle est dite bilatérale. Dans le cas contraire, la liaison est dite unilatérale. 
-  Liaison holonome/non holonome
Les liaisons pour lesquelles l’équation de liaison est uniquement fonction des paramètres de position (équation holonome), est dite liaison cinématique. Sinon, la l’équation de liaison est dite non-holonome.
Par exemple, une liaison pivot, autorise la rotation autour de l’axe du pivot, mais interdit les autres mouvements, translations, ou rotations autour des deux autres axes. Si les mouvements relatifs entre les deux solides S1 et S2 sont paramétrés par trois paramètres de translation et trois paramètres de rotation : 

Alors l’existence d’une liaison pivot impose les cinq équations holonomes suivantes : 

Si cette liaison est motorisée et que le moteur impose une vitesse de rotation w(t), cette motorisation impose une dernière équation de liaison qui, cette fois, est non-holonome:
En règle générale, un actionneur impose l’évolution temporelle d’un paramètre de position et conduit donc, quelles que soient les conditions de fonctionnement à des équations non-holonomes.. 

◊  Représentation d’une liaison.
Par rapport au repère local attaché à une liaison entre deux pièces, le champ des vitesses relatives
entre les deux pièces (S1 et S2) reliées par la liaison en question peut être représenté par un torseur. Le
repère de la liaison est en général choisi de telle  sorte que l’axe x, soit un axe central pour la liaison,
aligné avec Ω. Alors en tout point A de cet axe :

◊  Degrés de liberté d’une liaison.

Dans le repère local associé à la liaison entre deux solides, les mouvements relatifs des deux solides sont limités à trois translations et trois rotations au maximum. Parmi ces 6 mouvements élémentaires, le nombre de mouvements élémentaires indépendants autorisés par la liaison définit le degré de liberté de cette liaison.
La liaison pivot ci-dessus est à un seul degré de liberté. Une liaison hélicoïdale (vis-écrou) permet deux mouvements, rotation autour de l’axe de la liaison et translation le long de ce même axe. Mais dans ce cas, rotation et translation sont proportionnelles. Par conséquent la liaison hélicoïdale est également à un seul degré de liberté. 



2.TABLEAU DES LIAISONS NORMALISÉES


Les liaisons normalisées présentées dans le tableau qui suit sont classées par degré de liberté croissant. La représentation graphique de la liaison ne présume pas de la réalisation technologique de ces liaisons, mais est une représentation schématique normalisée des mouvements autorisés par cette liaison entre les deux solides Sk et Si.. 


3. CINÉMATIQUE DU CONTACT ENTRE DEUX SOLIDES


Dans le cas du contact ponctuel, une terminologie particulière est employée, qui est décrite ci-dessous. Pour un contact surfacique ou linéique, tout ce qui est écrit pour le contact ponctuel reste valable en chaque point de la surface ou de la ligne de contact. 


Supposons deux solides S1 et S2 en contact en un point I. Il existe un unique plan tangent Π entre les deux solides, défini par la normale n21, à S2 ou à S1, au point de contact I, dirigée de S2 vers S1.
Alors les éléments de réduction du torseur cinématique en I du mouvement de S1 par rapport à S2 sont : 

La projection du vecteur rotation sur la normale au plan de contact, est le terme de pivotement.
La composante du vecteur rotation appartement au plan tangent est le terme de roulement.
Enfin, le moment en I du torseur est le glissement en I de S1 par rapport à S2. On le note souvent aussi :

D’après la formule de composition des vitesses : 
Ce qui donne donc ici : 
Ainsi le glissement en I de S1 par rapport à S2 est un vecteur parallèle au plan de contact. 


4.MODÉLISATION CINÉMATIQUE



4.1  Introduction

Un système de solides indéformables est composé  de deux sous-ensembles : les solides et les liaisons entre les solides. Une représentation peut donc en être faite au moyen d’un graphe. Un graphe est aussi composé de deux sous-ensembles : des points appelés sommets du graphe et des lignes appelés arcs qui relient certains sommets entre eux. Il y a donc deux bijections possibles entre un système de solides indéformables et un graphe. 


4.2  Graphe cinématique 

Lorsqu’on représente un système de solides par un graphe cinématique, les sommets du graphe représentent les liaisons et les arcs, les solides. Les sommets représentatifs des liaisons sont dessinés en respectant la normalisation et les positions spatiales relatives des entités géométriques caractéristiques.
Un graphe cinématique est donc en général (le cas particulier est relatif à un problème plan) un graphe tridimensionnel et se dessine en perspective.
La fonction principale du graphe cinématique est d’aider à la compréhension du fonctionnement du système, à la visualisation du paramétrage et au calcul. 



4.3  Graphe de structure ou graphe des liaisons

A l’inverse, lorsqu’on représente un système de solides par un graphe de structure, les sommets du graphe représentent les solides et les arcs, les liaisons. Ce graphe pourra être complété par la suite par des arcs parallèles figurant les actions mécaniques.
Sur chaque arc, il y a le nom de la liaison  qu’il représente ainsi que les caractéristiques géométriques. Aux sommets sont placés les symboles alphanumériques désignant les solides.
Le graphe de structure a deux fonctions principales :
- aider à la détermination de la mobilité du système c’est à dire du nombre minimal de paramètres permettant de décrire complètement la cinématique du système, 
- aider au choix des sous-systèmes à isoler, des théorèmes généraux de la dynamique à utiliser, des projections à effectuer pour répondre à un problème posé. 

4.4  Mobilité d’un système

La mobilité d’un système correspond au nombre minimal de paramètres indépendants nécessaires pour décrire totalement la cinématique du système. Dans un mécanisme, chaque liaison présente un certains nombre de degrés de liberté. Mais la mobilité du système complet n’est pas égale à la somme des degrés de liberté de chacune des liaisons. Le graphe de structure sera généralement employé pour déterminer la mobilité du système et choisir les paramètres indépendants du problème. En effet, lorsque le graphe présente des fermetures, des équations supplémentaires entre les paramètres apparaissent, ce qui diminue d’autant la mobilité du système. 


◊  Fermeture géométrique

Lorsque dans le graphe de structure apparaît un chemin fermé, alors, la fermeture géométrique de ce chemin s’écrit :
où (Oi,bi) est le repère, d’origine Oi et de base bi, attaché à chaque solide Si, et où est
une matrice de changement de base
Les équations scalaires obtenues sont des équations holonomes.  



◊  Fermeture cinématique

Si le chemin fermé possède des liaisons cinématiques, il faut alors écrire une équation de fermeture cinématique portant sur le torseur cinématique du chemin fermé : 
Les équations scalaires obtenues sont des équations non-holonomes.  Il est toujours possible d’écrire une fermeture cinématique à la place d’une fermeture géométrique.
Les équations non holonomes de la fermeture cinématique forment un système équivalent à celui obtenu par dérivation temporelle des équations holonomes de la fermeture géométrique.
Le choix d’utiliser une fermeture géométrique ou une fermeture cinématique sera guidé par des conditions de simplicité de mise en œuvre et conduira souvent à une procédure mixte. 



◊  Calcul de la mobilité

C’est le nombre minimal de paramètres indépendants nécessaires pour décrire totalement la cinématique du système. Pour l’obtenir, il faut suivre la procédure suivante : 
En premier lieu, déterminer le nombre maximal de chemins fermés indépendants. Ce nombre s’appelle le nombre cyclomatique et vaut : µ = nl - ns + 1, avec nl=nombre de liaisons et ns=nombre de sommets du graphe.
En second lieu, pour chacun de ces µ chemins fermés, il faut écrire les équations de fermeture et déterminer le rang r du système d’équations obtenu.
Si on note np, nombre total de paramètres de position, qui est égal à la somme des degrés de liberté de toutes les liaisons du système, la mobilité m du système est alors par définition : m = np - r 


Cette procédure est systématique, mais généralement fastidieuse. Dans la pratique, il n’est pas nécessaire de paramétrer explicitement tous les degrés de liberté de toutes les liaisons et d’expliciter ensuite toutes les équations de fermeture. On peut souvent remplacer les chemins fermés du graphe de structure par une liaison équivalente (voir l’exemple ci-dessous). Ceci permet de réduire le graphe de structure et d’en déduire un graphe de structure minimal et un paramétrage minimal. 
On peut alors calculer la mobilité en appliquant la procédure décrite ici au graphe de structure minimal ou bien la déterminer en imaginant le blocage d’un degré de liberté d’une liaison. On regarde si le système reste mobile ou non. S’il reste mobile, on ajoute un deuxième blocage d’un nouveau degré de liberté et ainsi de suite jusqu’à immobilité complète du système. La mobilité est alors le nombre de blocages effectués.  


-  Mobilité utile et mobilité interne
On peut classer les np paramètres de position en deux catégories suivant qu’ils sont associés à des liaisons avec l’extérieur du système ou à des liaisons  internes au système. Par commodité, on parlera de paramètres utiles et de paramètres internes.
La mobilité utile peut être trouvée en utilisant la « procédure » du blocage. On observe le système sous la forme d’une boîte noire dont les seuls degrés de liberté observables et accessibles (donc blocables) sont ceux des liaisons externes. 


-  Bilan : Choix d’un paramétrage
•  Identifier les solides, identifier les liaisons.
•  Tracer le graphe de structure complet.
•  Calculer le nombre maximal de chemins fermés indépendants.
•  Réduire le graphe de structure en remplaçant  autant de chemins fermés indépendants que possible par une liaison équivalente.
•  Tracer le graphe de structure minimal.
•  Choisir un paramétrage minimal associé au graphe de structure minimal.
•  Tracer les figures de projection associées au paramétrage choisi.
•  Expliciter les équations de fermeture restantes. 



4.5  Exemple : Presse de modélisme

Le cas d’une presse de modélisme est présenté ici pour illustrer les principes de la modélisation cinématique qui ont été évoqués plus haut. Le plan du mécanisme est présenté ci-dessous. Cet exemple est issu de Mecanique 1, Yves Brémont/Paul Réocreux. 

◊  Plan du mécanisme 


La presse est constituée d’un bâti, constitué d’une embase 00, d’un plan d’appui 05, de deux colonnes 01 et 02 et d’une bague supérieure 04. Ces pièces n’ont aucun mouvement relatif. L’ensemble de ces pièces sera donc noté par (0). 
Par ailleurs, la traverse 10, les deux bagues 11,  et les deux rondelles 12 et 13 n’ont également aucun mouvement relatif. L’ensemble de ces pièces sera noté (1). 


◊  Construction du graphe de structure

Nous avons donc 6 solides principaux et 8 liaisons. Ce qui permet de dessiner le graphe de structure et de choisir les paramètres du mouvement pour chacune des liaisons. On tient compte du fait que le problème est plan. 



Dans ce graphe apparaissent des chemins fermés. On peut calculer le nombre maximal de chemins fermés indépendant comme suit :
Nombre de liaisons nl=8
Nombre de sommets ns=6
Nombre de chemins fermés indépendants ou nombre cyclomatique µ = nl -ns +1=3. 
Ces chemins fermés permettent d’écrire des équations de fermeture et donc de réduire le nombre de paramètres nécessaire à la modélisation complète de la cinématique du système. On peut paramétrer chacune des liaisons puis poser les équations et réduire le nombre de paramètres, ou analyser le problème et remplacer les chemins fermés par des liaisons équivalentes 



◊  Réduction du graphe de structure

L’existence de deux liaisons pivots parallèles entre le bâti (0) et la traverse (10) interdit la rotation autour de ces axes. Ainsi ces deux liaisons parallèles peuvent elles être remplacées par une liaison glissière. On élimine ainsi un premier chemin fermé.
Ensuite, la tige 20 est liée à la traverse 10 par deux branches parallèles. Dans chaque branche on trouve une liaison rotule de centre O (40/10) ou (30/10) puis une liaison appui plan (20/30) ou (20/40). La mise en série d’une rotule et d’un appui plan est équivalente à une liaison ponctuelle. Deux liaisons ponctuelles au même point, équivalent à une seule. Ainsi le second chemin fermé est-il ramené à une unique liaison ponctuelle.
Enfin, le dernier chemin fermé est naturellement réduit en considérant que la traverse sommet (03), encastrée au bâti, fait partie du bâti.
On peut alors dessiner un graphe de structure simplifié, pour lequel est aussi choisi un paramétrage. Il reste encore un chemin fermé donc des équations de fermeture à poser. 





 ◊  Construction du graphe cinématique

La modélisation cinématique retenue peut être également représentée à l’aide du schéma cinématique, pour lequel on place les liaisons aux sommets et les solides sur les arcs du graphe. Ce graphe permet une meilleure compréhension du fonctionnement du système.

◊  Mobilité du système

•  Nombre total de paramètres np=7
•  Nombre de liaisons nl=3
•  Nombre de sommets ns=3
•  Nombre de chemins fermés indépendants ou nombre cyclomatique µ = nl -ns +1=1
•  Nombre d’équations scalaires de fermeture à écrire n=6 : vecteur translation et vecteur rotation projetés sur les axes x,y,z.
•  Mobilité m=np-n=1
•  Mobilité utile : Le paramètre d’entrée est ωz, paramètre de sortie az. Les deux paramètres sont liés, la mobilité utile est égale à un. 
•  Mobilité interne : La mobilité interne est alors égale à zéro. Les deux déplacements bx et by et les trois rotations rx, ry et rz sont bloquées. 



5.A RETENIR



-  Système de solidesÆ ensemble {{solides}, {liaisons}}.

    Se modélise à l’aide d’un graphe.
    Graphe de structure : Sommets=solides, arcs=liaisons.
    Graphe cinématique : Sommets=liaisons, arcs=solides.
    La modélisation permet le calcul de la mobilité et le choix d’un paramétrage.
    Le choix d’un paramétrage permet la mise en place des figures de projections. 



-  Liaison

    Se représente par un torseur cinématique
   Bilatérale/Unilatérale
   Holonome/Non Holonome 



-  Notations spécifiques au contact

Torseur cinématique au point de contact I entre les solides S1 et S2, où S1 est en mouvement par
rapport à S2 et où n21 est la normale au plan de contact au point I entre S1 et S2 dirigée de 2 vers 1: 

-  Bilan : Choix d’un paramétrage

•  Identifier les solides, identifier les liaisons.
•  Tracer le graphe de structure complet.
•  Calculer le nombre maximal de chemins fermés indépendants.
•  Réduire le graphe de structure en remplaçant  autant de chemins fermés indépendants que possible par une liaison équivalente.
•  Tracer le graphe de structure minimal.
•  Choisir un paramétrage minimal associé au graphe de structure minimal.
•  Tracer les figures de projection associées au paramétrage choisi.
•  Expliciter les équations de fermeture restantes.

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