les termes de la relation de Bernoulli pour des écoulement dans des tubes régulièrement pressentant aucune singularité ; pertes de charge régulière




Introduction :

-    Bernoulli, principe de, en mécanique des fluides, principe selon lequel l'énergie mécanique totale d'un écoulement de fluide incompressible et sans frottement est constante le long d'une ligne de courant de cet écoulement. Pour un écoulement uniforme, les lignes de courant correspondent à la trajectoire des molécules de fluide prises individuellement. Le principe de Bernoulli fut formulé en 1738 par le mathématicien et physicien suisse Daniel Bernoulli, et antérieurement par Leonhard Euler. Le principe de Bernoulli conduit à une relation entre la pression, la vitesse du fluide et la force de gravitation. Il montre que la vitesse du fluide augmente lorsque la pression exercée sur le fluide diminue.

-    Cette loi a été appliquée pour optimiser la forme des ailes d'un avion ou celle des hélices d'un navire. En effet, la forme d'une aile est telle que l'air y circule plus rapidement sur sa surface supérieure (extrados) que sur sa surface inférieure (intrados). De ce fait, la pression de l'air sur l'extrados est inférieure à celle qui s'exerce sur l'intrados. La différence de pression qui en résulte est à l'origine de la poussée ascendante qui maintient l'avion en vol. Dans le cas de l'hélice rotative, qui est également un plan à profil d'aile (c'est-à-dire, formée comme une aile), la différence de pression correspondante fournit la poussée qui propulse le navire. Le principe de Bernoulli est appliqué dans les tuyères : l'écoulement s'accélère lorsque le diamètre du tube décroît, et la pression chute en conséquence. Il est également utilisé dans les débitmètres à tube Venturi : la mesure de la différence de pression d'un fluide circulant dans deux tuyaux de diamètres différents permet de déterminer la vitesse de ce fluide, et donc son débit.





BUT :

Cette manipulation a pour but de mettre en évidence dans un premier temps les termes de la relation de Bernoulli pour des écoulement dans des tubes régulièrement pressentant aucune singularité. On étudiera ensuite un aspect des pertes  de charge régulière.

ASPECT THÉORIQUES :

1-    lors de l’écoulement permanent isotherme d’un fluide incompressible sans frottement, l’énergie mécanique du fluide se conserve le long de courant, c’est le théorème de bernoulli.
2-    l’équation de Bernoulli entre deux sections (1) et (2) de la conduite s’exprime par :

Ht1= Z1 +P1/ρg +V1^2/2g=Z2+P2/ρg  +V2^2/2g= Ht2

Avec :

Hti : charge total de fluide a la section (i).
Vi : la vitesse moyenne de fluide a la section (i)
Pi : la pression statique a la section (i)
Zi : la cote de la section (i) par rapporta un plan de référence

3-     s’il existe de frottement entre les particule des fluides et entre les parois de la conduite, notre théorème de Bernoulli s’écrit comme suit :

Ht1=Ht2+ΔH12

Avec :

  ΔH12 les pertes de charge entre les sections (1et 2)
Exprime on hauteur de fluide si V la vitesse moyenne de fluide qui s’écoule dans une conduite cylindrique de diamètre D la perte de charge ΔH subit par le fluide sur une longueur droit L s’écrit :

Δh = λL/D .V^2/2g =λ 16.L/π^2.D^5 *Q^2/2g
Avec :

λ : le coffecient de perte de charge  dit coffecient de darcy qui dépend de la nature de l’ecoullment .


-    MANIPULATION  :


·        Première partie :

D’abord on raccorde la conduite qui possède HUIT pistes de pression a la sortie haute du banc , on fixe après , l’inclinaison de la conduite a une perte de 10% pour la première série de la mesure , et 20% pour la deuxième série .on fais connecter au différente piézomètre ou les prises horizontal la pression statique

HS = P/ρg

Et les prises verticale mesurant la surpression d’arrêt tel que

( Hd =P/ρg +V^2/2g)

On fixe le débit lorsque on actionne  la pompe en laissent stabiliser l’écoulement (soit 1000 et 1200l/h) enfin on lit les gradations de la hauteurs d’eau contenu dans chaque piézomètre
  on prend comme origine des côte Z,la section (4) :
Z4= 0 m.





RÉSULTATS :



REPRESENTE  GRAPHIQUE DE LA THEOREME DE BERNOULLI FLUIDE SONS FROTTEMENT.



 


Représentation graphique de la théorème de Bernoulli d’un fluide avec frottement


·        pour un débit de 1000l/h est une inclinaison de 10 %.



Prise de pression

HS(cm)

HF(cm)

Z(cm)

HT(cm)

ΔH(cm)
1
35
43
10.5
53.5
0
2
33
39.5
7
46.5
7
3
30
36
3.5
39.5
14
4
28
34
0
34
19.5

·        pour un débit de 1000(l/h)  et une inclinaison de 20% :

Prise de pression
HS(cm)
HF(cm)
Z(cm)
HT(cm)
ΔH(cm)
1
35
47
21
68
0
2
31
42
14
56
12
3
28
38
7
45
23
4
24.5
34
0
34
34

·        pour un débit de 1200l/h  et une inclinaison de 10 % :

Prise  de pression
HS(cm)
Hd(cm)
Z(cm)
HT(cm)
ΔH(cm)
1
40
63.5
10.5
74
0
2
39
62.5
7
69
10
3
35
49.5
3.5
53
21
4
32.5
44
0
44
30

·        pour un débit de 1200 (l/h) et une inclinaison de 20 % :

Prise de pression
HS(cm)
Hd (cm)
Z(cm)
HT (cm)
ΔH (cm)
1
30
50
21
71
7
2
36.5
45
14
59
59
3
33
42
7
49
49
4
32
37
0
37
37



·        Deuxième partie :

Ä mode opératoire :

on raccord cette fois ci un tube de diamètre Φ= 21.8 mm a la sortie ou du banc d’es sois, puis on connecte deux prises de pression a deux piézomètre , avant de prendre 1 débit différents , et on mesure a chaque fois la hauteur d’eau contenu dans chaque piézomètre.

Ä  Relation fondamentale :

Pour 7 débit qu’on pris pour 2 section (1) et (2) :

On obtient : -les pertes  de charge entre (1) et (2) :   ΔH= H1 – H2


-         le coefficient de Darcy λ :               ΔH π^2/16L D^5/Q^2 *2g

-         le nombre de Reynolds Re :           Re = (D v)/υ = 4Q/πDv

Avec :

 D= 21.8 mm ; L= 105 cm ; υ= 1 cst.








Ä  tableau de mesure :

Q(l/h)
H1(cm)
H2(cm)
ΔH(cm)
λ
Re
Ln λ
Ln Re
1300
87.5
80
7.5
0.0331
21091
-3.408
9.96
1250
72.5
65.5
7
0.0333
20280
-3.402
9.92
1200
60.5
54
6.5
0.0335
19468
-3.396
9.88
1100
46.5
41
5.4
0.0336
17982
-3.393
9.8
1050
42
37
5
0.0338
17035
-3.384
9.74
1000
33
28.5
4.5
0.034
16224
-3.378
9.69
930
29
25
4
0.343
1500
-3.372
9.62
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