Vibration et Ondes Exercices corrigés


Exercice Corrigé 1 : Le mouvement de l'oscillateur suramorti

Une porte est construit avec un ressort et un amortisseur ajustée de sorte que le système est suramorti. Dans un premier temps, la porte est à l'équilibre de position (fermée), soit x (t = 0) = 0.
Encore debout avec le bout de son nez à la position " x = 0", Mr. K botte soudainement la porte (c.-à-v (t = 0) = v0). Est-ce que la porte retourne en arrière et le frappe ? (C-à-t  x(t) traverse le 0 ?)
 
  

  



Exercice Corrigé 2 :Un roulement à billes

Une balle de masse m se déplace dans un paysage unidimensionnelle de collines et de vallées avec hauteur h en fonction de la position latérale x étant donnée par la fonction
où a et b sont des constantes. Le système est dans un champ gravitationnel uniforme avec une accélération g, comme d'habitude. Considérez que x>0.
1)Étant donné le comportement de h (x) quand x → ∞ et x 0, et l'existence d'une extremums locaux, croquis à la main, la forme de h (x). Les valeurs exactes de h (x) ne sont pas importants; la forme générale est important.
2)La balle est rouleaux en avant et en arrière autour d'un point d'équilibre stable. Combien existent-ils de ces points d'équilibre ? 
3)Pour tous les points d'équilibre que vous avez trouvé en (2), déterminer la période T de petites oscillations de la balle à propos de l'équilibre. Assurez-vous que les dimensions de votre réponse sont corrects, d'abord déterminer les dimensions des constantes a et b.  



Exercice Corrigé 3 : Espace de phase


Il est souvent informatif d'examiner la trajectoire d'un système dans "l'espace des phases", dans lequel les quantités physiques particulières forment les axes de coordonnées. Un ensemble commun de quantités est la position et la vitesse. Par exemple: imaginons un système dans lequel la position est donnée par x (t) = a / t, et la vitesse est donnée par
t est le temps et est une constante. Par conséquent v = -x2 / a, . v (x) est une fonction quadratique de x. Au temps t = 0, v et x sont nuls, donc notre parabole "commence" à l'origine de notre parcelle de l'espace des phases. La parcelle ressemble à:
1) Considérons un oscillateur harmonique simple, non amortie. Montrer que la parcelle de l'espace des phases (avec axes x et dx/dt?) Est une ellipse. (Rappelez-vous de l'équation caractérisant d'une ellipse.)


2) Dessinez le tracé de l'espace de phase pour un oscillateur non amorti avec les conditions initiales x (t = 0) = x0, v (t = 0) = 0. Indiquer le t = 0 point sur la courbe.

3) ressemble a quoi le tracé de l'espace de phase d'un oscillateur amorti ? Dessinez, qualitativement - vous ne devez pas faire toute les mathématiques. Indiquer le "t = ∞" point sur la courbe.




Exercice Corrigé 4 : Les Séries de Taylor


1)Dériver le développement en série de Taylor, au terme de x5, pour sin(x) autour de x = 0.
2)Dériver le développement en série de Taylor, jusqu'à la troisième terme, pour :
  autour du point x0 à laquelle y(x) est minimal. (Premièrement déterminer x0.) (Considérez que x> 0).



Exercice Corrigé 5 : Un diapason


Un diapason anneaux à "A-dessus du milieu C," une fréquence de f = 440 Hz. (Notez que ceci est la fréquence, f, et non pas la fréquence angulaire, ω). L'intensité du son, qui est proportionnelle à l'énergie de la fourche oscillante, diminue d'un facteur de 5 à 4 secondes.
1) sans faire de mathématiques, sauf peut-être un peu d'arithmétique simple, nous savons que le système est faiblement amortie. Pourquoi?
2) Quel est le Q du diapason?




Exercice Corrigé 6 : Radiation d'une charge accélérée


Mr. K. construit un oscillateur constitué d'un électron oscillant en avant et en arrière harmonique avec la fréquence f et d'amplitude A, et avec des combinaisons intelligentes d'aspirateurs et les champs électriques parvient à éliminer toute friction du système. (Notez que f est la fréquence, pas la fréquence angulaire.) "Enfin," dit-il, "un oscillateur parfaitement non amortie!" Il ne réalise pas, cependant, que tout objet chargé électriquement, quand il est accéléré, va émettre de l'énergie sous la forme d'ondes électromagnétiques. La puissance rayonnée est
 
 où q est la charge, a est l'accélération, et c est la vitesse de la lumière. Un électron a la charge q=1,60x10-19C et de masse m = 9,11x10-31kg.

1)Quelle fraction de l'énergie initiale de l'oscillateur est rayonnée loin après un seul cycle? L'amortissement est faible ou fort?
2)Estimer le Q de cette oscillation en termes de q, f, etc. Astuce: Rappelez-vous le développement de Taylor de ey; pour les petits y, quel est le terme d'ordre le plus bas en y? Vous utiliserez m dans votre expression de l'énergie initiale de l'électron. 
 3)Évaluer votre réponse numériquement pour f correspondant à la fréquence d'oscillation de la lumière rouge. (Lumière rouge a une longueur d'onde d'environ λ≈650×10-9 m;. Longueur d'onde et la fréquence sont liées par X=fc) Réfléchissez si la valeur Q que vous trouverez est en accord avec vos conclusions pour la partie (1).



Exercice Corrigé 7 : la radio RLC

Mr. K décide de construire une radio en utilisant un circuit RLC pour ramasser la station de radio de campus (f = 88,1 MHz - ne pas oublier que ω = 2πf). Il a une résistance de R = 100 Ω et un condensateur de C=5pF (soit 5 ×10-12F).

1) Quelle inductance at-il besoin pour compléter le circuit? 
2)Mr. K. construit la radio (il est étonnamment bien en la compréhension à modulation de fréquence), mais il fonctionne horriblement, ramassant un gâchis de stations à la fois, et pas bien amplifier la station souhaitée. Quel est le problème avec sa conception? (Vous pourriez trouver utile de tracer A (f) pour ce circuit.)





Exercice corrigé 8 : Mouvement harmonique simple.

1) Vérifiez que x(t)=Asin(ωt)+Bcos(ωt) avec ω=√k/m , est une solution de l'équation différentielle du mouvement pour une masse m attachée à un ressort de raideur constante k.
2)  Vérifiez que x(t)=Csin(ωt-φ) est aussi une solution.
3)on  considère une équation différentiel du  seconde ordre , - c-à-dire celle qui implique un second dérivée de x (t) -a une solution générale qui a deux paramètres arbitraires, par exemple A et B dans la partie (a), ou C et φ dans la partie (b). Mr. K, qui n'a jamais pris un cours sur les équations différentielles, prétend qu'il a trouvé une nouvelle solution, plus général avec trois paramètres, noté D, E et F:
x(t)=Dsin(ωt)+Fcos(ωt-F),Est ce que   x (t) une solution à notre équation différentielle? Si non, quel est le problème avec ça? Si oui, pourquoi ne devrions-nous l'utiliser comme une solution plus générale?





Exercice Corrigé 9 : Analyse dimensionnelle - ondes membranaires

On peut utiliser l'analyse dimensionnelle pour dériver une expression approximative pour la période d'une variation en fonction de sa longueur d'onde. Supposons que l'échelle de temps est déterminée par trois paramètres physiques: la longueur d'onde (λ), la rigidité de la membrane, et la viscosité (η) du fluide (eau) dans lequel existe la membrane.
1)L'énergie nécessaire pour déformer une membrane est une fonction de la rigidité de la membrane (de κ) et les rayons de courbure (r) de la membrane le long de deux axes "principe" (r1 et r2, chacun avec des unités de longueur). On intègre le produit de la rigidité et carrée de la somme des inverses des rayons de courbure le long de la zone de membrane pour calculer l'énergie (E): 



 Montrer que K a les mêmes dimensions que l'énergie.

2) La Viscosité (η) décrit la résistance d'un fluide au cisaillement. La force nécessaire pour faire glisser une sphère lentement à travers un fluide est proportionnelle au produit de son rayon, sa vitesse, et la viscosité du fluide. Montrer que η a des dimensions de Masse / [temps × Longueur]

3) Montrer que le temps (τ) pour les déformations de la membrane doit dépendre de λ, η, et κ par une relation de la forme: τ=(constante dimension)×ηλ3/κ. Ceci est, en fait, correct pour une membrane libre. Le pré-facteur numérique arrive à être (1 / 3).

4) pour une membrane à proximité d'une surface, la distance moyenne de la surface (z) affecte la dynamique.
Comment ajouter z à notre liste de paramètres affectent notre capacité à créer une expression unique pour τ?
∎ La solution  

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