Unisolvance : Eléments finis de Lagrange



Définition : Soit Σ = {a1, . . . ,aN} un ensemble de N points distincts de IRn. Soit P un espace vectoriel de dimension finie de fonctions de IRn  à valeurs dans IR. On dit que Σ est P-unisolvant ssi pour tous réels α1, . . . ,αN, il existe un unique élément p de P tel que p(aii) = αi, i = 1, . . . ,N.

Ceci revient à dire que la fonction :
est bijective.

En pratique, on montrera que Σ est P-unisolvant en vérifiant que dim P = Card Σ, puis en montrant l’injectivité ou la surjectivité de L.
L’injectivité de L se démontre en établissant que la seule fonction de P s’annulant sur tous les points de Σ est la fonction nulle.
La surjectivité de L se démontre en exhibant une famille p1, . . . ,pN  d’éléments de P tels que pi(aj)=δij , c’est à dire un antécédent pour L de la base canonique de IRn. En effet, étant donnés des réels α1, . . . ,αN, la fonction 


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