Principe général de la méthode des éléments finis


La démarche générale de la méthode des éléments finis est la suivante. On a une EDP résoudre sur un domaine Ω. On écrit la formulation variationnelle de cette EDP, et on se ramène donc à un problème du type

(Q) Trouver u ∈ V tel que a(u,v) = l(v), ∀v ∈ V

On va chercher une approximation de u par approximation interne. Pour cela, on définit un maillage du domaine Ω, grâce auquel on va définir un espace d’approximation Vh, s.e.v. de V de dimension finie Nh (par exemple Vh sera l’ensemble des fonctions continues sur Ω et affines sur chaque maille). Le problème approché est alors


(Qh)         Trouver  uh  Vh   tel  que  a(uh,vh) = l(vh),     vh Vh

Soit (ϕ1, . . . Nh ) une base de  Vh. En décomposant uh  sur cette base sous la forme

le problème (Qh) devient

 ou encore par linéarité de a et l :
c’est à dire résoudre le système linéaire


 soit

Aµ = b                          (2.19)
 
La matrice A est a priori pleine. Toutefois, pour limiter le volume de calculs, on va définir des fonctions de base ϕi dont le support sera petit, c’est `a dire que chaque fonction ϕi sera nulle partout sauf sur quelques mailles. Ainsi les termes a(ϕi,ϕj) seront le plus souvent nuls, car correspondant `a des fonctions ϕi et ϕj de supports disjoints. La matrice A sera donc une matrice creuse, et on ordonnera les ϕi de telle sorte que A soit à structure bande, avec une largeur de bande la plus faible possible.
A ce niveau, les difficultés majeures en pratique sont de trouver les ϕi et de les manipuler pour les calculs d’intégrales nécessaires `a la construction de A. Sans rentrer pour le moment dans les détails, on peut toutefois indiquer que la plupart de ces difficultés seront levées grâce `a trois idées principales :

• Le principe d’unisolvance — On s’attachera à trouver des degrés de liberté (ou ddl) tels que la donnée de ces ddl détermine de façon univoque toute fonction de Vh.
Il pourra s’agir par exemple des valeurs de la fonction en quelques points. Déterminer une fonction reviendra alors à déterminer ses valeurs sur ces ddl.
• Définition des ϕi — On définira les fonctions de base par ϕi = 1 sur le
i`eme ddl, et ϕi = 0 sur les autres ddl. La manipulation des ϕi sera alors tr`es simplifiée, et les ϕi auront par ailleurs un support réduit à quelques mailles.
• La notion de  " famille affine d’éléments "  — Le maillage sera tel que toutes les mailles soient identiques à une transformation affine près. De ce fait, tous les calculs d’intégrales pourront se ramener à des calculs sur une seule maille “de référence”, par un simple changement de variable.


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