L’action Différentielle


Considérons un système de régulation soumis à une perturbation qui entraîne une augmentation de l'erreur. Un système de régulation proportionnelle réagira à une telle augmentation de l'erreur en produisant
un signal de sortie présentant une augmentation toute aussi importante dont la pente sera proportionnelle au gain du système de régulation. Nous pourrions réduire l'écart final par rapport à la valeur de consigne et réduire le temps de récupération grâce à un signal de régulation additionnel dépendant du taux de changement du signal correspondant à l'erreur. Ce type d'action s'appelle action différentielle et fait normalement partie du processus de régulation proportionnelle.  


L'action différentielle est une action surcorrectrice qui produit un important signal de régulation initial destiné à limiter l'écart final. La réponse typique en boucle ouverte est illustrée à la figure 15.
 

On peut voir que l'action différentielle produit immédiatement un important signal de régulation qui limitera l'écart. L'action proportionnelle est ensuite superposée sur cette étape. L'action différentielle cesse lorsque l'erreur ne change plus. Veuillez noter, qu'en pratique, on ne peut obtenir la réponse de l'étape affichée, parce que la réponse normale correspond approximativement à une hausse exponentielle suivie d'une décroissance.
 

La réponse différentielle donne immédiatement un signal de régulation qui sera égal à la valeur que prendrait la réponse proportionnelle après un certain temps, mettons après T minutes. Les unités d'action différentielle sont en minutes. Ce temps correspond à l'avance de l'action différentielle sur l'action proportionnelle. Comme l'action différentielle est une régulation « surcorrigeante », elle a donc tendance à réduire le retard global dans le système, rendant ce dernier plus stable. 

Action proportionnelle et action différentielle —
 Réponse en boucle ouverte 

Mathématiquement, la régulation proportionnelle et différentielle (régulation PD) est exprimée par l'équation suivante : 
où 
m :est le signal du régulateur
k : est le gain du régulateur (l’amplification)
TD: est le temps de dérivation
e :est l’erreur
b: est le biais (valeur de soutien) 


L'utilisation de la régulation différentielle est limitée. À première vue, la régulation différentielle semble attrayante. Elle devrait permettre de réduire le temps qu'exige la stabilisation de l'erreur. Toutefois, elle n'élimine pas l'écart. Le signal de régulation différentielle cesse lorsque l'erreur ne change plus, ce qui ne se traduit pas nécessairement par un retour de la grandeur régulée à la valeur de consigne.
 

De plus, sur le plan pratique, son utilisation est limitée aux procédés « paresseux ». Lorsque la régulation différentielle est appliquée à un procédé « réactif », par exemple un débit, les signaux de régulation provoqueront bien souvent une réaction extrême de la vanne de régulation en réponse à des changements assez faibles mais soudains (valeur élevée de   de/dt   ) du signal d'entrée.  

Considérons un simple système de régulation du débit constitué d'un diaphragme muni d'un transmetteur de débit et d'un extracteur de racine carrée, ainsi que d'un régulateur à action directe et d'un système pneumatique pour fermer la vanne (voir figure 16). Ce système est soumis à une perturbation de faible intensité mais qui se produit rapidement.
Comment ce système réagira-t-il en modes de régulation proportionnelle et différentielle?  


Système simple de régulation du débit 

Pour répondre à cette question, considérons la réponse PD à la suite d'un changement rapide du signal provenant d'un système en boucle ouverte
Figure 17
Réponse en boucle ouverte d'un système de régulation proportionnelle
et différentielle (système PD) à des signaux d'erreur variant
soudainement 

La partie supérieure de la figure 17 illustre un procédé qui subit une perturbation positive, AB, à partir d'un état d'erreur nulle, suivie d'une perturbation négative égale, BC, qui rétablit l'état d'erreur nulle. Veuillez noter que le taux de changement de B à C, c.-à-d. la pente de la droite BC, est le double du taux de changement de A à B. Mathématiquement, on peut représenter ces changements par l'équation : 
L'action de régulation proportionnelle qui intervient de B à C sera égale, mais opposée, à l'action de régulation proportionnelle de A à B. L'action de régulation différentielle qui intervient de B à C sera le double de l'action de régulation différentielle de A à B. Le signal de régulation en boucle ouverte est donné à la partie inférieure de la figure 17. Le gain du régulateur et les paramètres différentiels demeurent constants. 

Très peu de temps après le temps (t0), le signal de régulation augmente soudainement pour atteindre une valeur déterminée par le taux de changement de l'erreur (e), par les paramètres différentiels et par le gain
du régulateur. L'action proportionnelle entraîne, jusqu'au temps (t1), une augmentation du signal de régulation qui atteint alors une valeur déterminée par l'erreur (e) et par le réglage du gain du régulateur et qui comprend la direction de l'erreur et de l'action de régulation. 


Au temps (t1), le taux de changement de l'erreur, soit  de/dt devient
momentanément nul; la variation initiale du signal de régulation produit par l'action de régulation différentielle devient donc nulle. L'erreur change ensuite de direction et devient négative, puis l'action de régulation différentielle produit soudainement un signal de régulation négatif égal au double du signal de régulation différentielle initial. L'action de régulation proportionnelle diminue ensuite le signal de régulation jusqu'au temps (t2).


Au temps (t2), le taux de changement de l'erreur devient nul, ce qui ramène encore une fois le signal de régulation différentielle à zéro; le signal de régulation revient donc à sa valeur initiale correspondant à une erreur nulle. Veuillez noter que cette valeur finale (correspondant à une erreur nulle) du signal de régulation et, partant, la position de la vanne de régulation à la fin de cette perturbation sont déterminées uniquement par 

l'action proportionnelle. L'action différentielle a actionné la vanne rapidement et à plusieurs reprises, entraînant ainsi une usure inutile, sans amélioration de la régulation.
La réponse de la boucle fermée illustrée à la figure 16 devrait être quelque peu différente, parce que la réaction de la vanne modifierait continuellement le signal d'erreur. Toutefois, la vanne serait toujours actionnée rapidement et à plusieurs reprises, sans raison utile.
L'analyse ci-dessus montre donc qu'il n'est guère souhaitable de réguler des procédés « réactifs », comme un débit, en faisant intervenir une action différentielle. 


Examinons maintenant les systèmes « paresseux » (qui, en général, sont physiquement gros), par exemple un gros réservoir à débit de sortie variable et à alimentation régulée par une vanne. Il faudra donc un important changement de volume pour observer un changement de niveau notable.
En raison de l'inertie du système, le régulateur ne réagira qu'après un certain temps à un changement important du débit de sortie. 


Si le régulateur ne fonctionne qu'en mode proportionnel, il ne fera que tenter de corriger l'erreur découlant de la perturbation du débit de sortie, et ce, en raison du temps qu'il mettra à réagir au changement. La réponse d'un régulateur proportionnel est illustrée à figure 18. Veuillez noter que le procédé ne s'est toujours pas stabilisé après un temps considérable.
Toutefois, l'addition d'une action différentielle produit une réponse de surcorrection. Le signal de régulation croît plus rapidement et le procédé retourne beaucoup plus rapidement à l'équilibre. Veuillez noter également que :


•  Le système est plus stable (corrections moins nombreuses) lorsqu'il est régulé par un système PD. 
•  Les écarts sont toujours présents.   

 Régulation proportionnelle et régulation proportionnelle et
différentielle d'un gros système 

1. Points saillants 

•  L'action différentielle produira une surcorrection et réduira normalement l'écart mais sans l'éliminer.
•  Elle est exprimée en minutes (avance de l'action différentielle sur l'action proportionnelle).
•  Elle a tendance à réduire le retard dans une boucle de régulation.
•  En général, on l'utilise uniquement pour la régulation des procédés « paresseux ». 

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