Existence et unicité de la solution : éléments finis

1. Continuité

Soient V et W des espaces de Hilbert.

Définition : Une forme linéaire l(u) sur V est continue si il existe une constante K telle que |l(u)| ≤ K ||u||V ∀u∈ V .

Définition : Une forme bilinéaire a(u,w) sur V ×W est continue si il existe une constante M telle que |a(u,w)|≤ M ||u||V ||w||W ∀(u,w) ∈ V × W .



2. Théorème de Lax-Milgram

On va introduire ici un outil important pour assurer l’existence et l’unicité de solutions `a la formulation variationnelle de problèmes aux limites de type elliptique. On se place dans le cas W = V . 

Définition : Une forme bilinéaire a(u,v) sur V ×V est coercive (ou V-elliptique) si il existe une constante α > 0 telle que a(u,u) ≥ α ||u||², ∀u ∈ V .

Théorème : (Lax-Milgram) Soit V un espace de Hilbert. Soit a une forme bilinéaire continue coercive sur V . Soit l une forme linéaire continue sur V . Alors il existe un unique u∈V tel que a(u,v) = l(v), ∀v∈V . (et de plus, l’application linéaire l → u est continue.)

Théorème : On prend les mêmes hypothèses que pour le théorème de Lax-Milgram, et on suppose de plus que a est symétrique, c’est à dire que a(u,v) = a(v,u) ∀u,v. On définit alors la fonctionnelle J(v)=(1/2)a(v,v)−l(v), et on considère le problème de minimisation :


Alors ce problème admet une solution unique, qui est également la solution du problème variationnel précédent.
La démonstration de ce théorème vient du fait que J est une fonctionnelle quadratique, et que l’on a ∇J[u](v)=a(u,v)−l(v).
C’est de cette propriété que vient l’utilisation du terme “variationnel”, puisqu’elle montre le lien avec le “calcul des variations”.


Remarque : Le théorème de Lax-Milgram donne des conditions suffisantes pour que le problème soit bien posé (c’est `a dire existence et unicité de la solution), pas des conditions nécessaires. Si les hypothèses de ce théorème ne sont pas satisfaites, on ne peut donc pas en déduire que le problème est mal posé. Toutefois, dans le cas ou toutes les hypothèses autres
que la coercivité de a sont satisfaites, on a le résultat suivant : si a est symétrique et positive a(v,v)≥0,∀v∈V), alors a non coercive implique que le problème est mal posé.


3. Retour à l’exemple 1-D

En reprenant l’exemple 1-D précédent, on peut poser :


a ainsi définie est une forme bilinéaire symétrique continue coercive sur H0 1(a,b) × H0 1(a,b) , et l est une forme linéaire continue sur  H0 1(a,b) ,Donc le problème (2.2) admet une solution unique d’après le théorème de Lax-Milgram.

Cherchons maintenant à interpréter cette solution u de (2.2). Prenons v = ϕ ∈ D(]a,b[).
Alors




c’est à dire (−u” + cu,ϕ)0 = (f,ϕ)0 ∀ϕ ∈ D(]a,b[). D(]a,b[) étant dense dans L²(]a,b[), on a donc : −u”+cu = f dans L²(]a,b[). u étant dans L²(]a,b[), et f et c étant dans C0([a,b]), donc également dans L²(]a,b[), on en déduit que u” = cu − f est aussi dans L²(]a,b[).

Puisque u est dans H0 1(]a,b[) et que u” est dans L²(]a,b[), on en déduit que u est dans  H²(]a,b[). Donc u est dans C 1([a,b]) (cf §1.4.1).

De ce fait, cu − f , c’est a` dire u”, est dans C0([a,b]). Donc ut est dans C1([a,b]), donc u est dans C²([a,b]).
La solution faible u est donc aussi solution forte du problème de départ.


En résumé :
• On est parti d’un problème (P) et on a introduit sa formulation variationnelle (Q).
• On a montré l’existence et l’unicité d’une solution faible (en utilisant le théorème de Lax-Milgram). Toute solution forte étant aussi solution faible, ceci prouve qu’il y a au plus une solution forte pour (P).
• On a prouvé que cette solution faible est bien une solution forte. Le problème de départ (P) a donc une solution unique. 


L’intérêt de cette démarche est d’une part que la formulation variationnelle se prête bien l’étude de l’existence et de l’unicité de solutions, et d’autre part que l’on travaille dans des espaces de Hilbert, ce qui va permettre de faire de l’approximation interne.

4. Remarque: condition inf-sup

Dans le cas de la formulation plus générale (2.6), on a le théorème suivant.


Théorème : (Banach-Neca-Babuska) Soient V et W deux espaces de Hilbert, a une forme bilinéaire continue sur V ×W, l une forme linéaire continue sur W. Alors le problème (2.6) admet une et une seule solution si et seulement si
Remarques :
• La première condition est appelée condition inf-sup.
• Contrairement au théorème de Lax-Milgram, ce théorème fournit une condition nécessaire et suffisante pour que la formulation soit bien posée.
• Pour prouver la condition inf-sup, on peut considérer une fonction v ∈ V et construire

une  fonction  wvW  telle  que  a(v,wv ) α1||v||2vet ||wv||2wα2||v||V . Ceci prouve que la condition inf-sup est satisfaite, avec α = α1/α2.




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