Approximation interne


1. Principe général

Soit Ω un domaine ouvert de IRn  (n = 1,2 ou 3 en pratique), de frontière ∂Ω, et sur lequel  on cherche à résoudre une équation aux dérivées partielles, munie de conditions aux limites.
En écrivant la formulation variationnelle, on obtient un problème de la forme


(Q) Trouver u ∈ V tel que a(u,v) = l(v), ∀v ∈ V          

ou V est un espace de Hilbert. Sous réserve que l’équation de départ ait de bonnes propriétés, c’est à dire par exemple qu’on soit dans les hypothèses du théorème de Lax-Milgram, (Q) admet une solution unique u. Pour obtenir une approximation numérique de u, on va maintenant remplacer l’espace V qui est en g´en´eral de dimension infinie par un sous-espace Vh de dimension finie, et on va chercher `a résoudre le problème approché  

(Qh)         Trouver  uh  Vh   tel  que  a(uh,vh) = l(vh),     vh Vh


   Vh étant de dimension finie, c’est un fermé de V . V étant un espace de Hilbert, Vh l’est donc aussi. D’ou l’existence et l’unicité de uh, `a nouveau par exemple d’après le théorème de Lax-Milgram.
L’espace Vh sera en pratique construit `a partir d’un maillage du domaine Ω, l’indice h désignant la “taille typique” des mailles. Lorsque l’on construit des maillages de plus en plus fins, la suite de sous-espaces  (Vh)h formera une approximation interne de V , c’est `a dire que, pour tout élément ϕ de V , il existe une suite de ϕhVh telle que ||ϕ − ϕh|| → 0


quand h → 0. Cette méthode d’approximation interne est également appelée méthode de Galerkin.

Remarque : Dans le cas de la formulation plus générale 


(Qt)         Trouver  u  V    tel  que  a(u,w)  = l(w), w W

le problème approché devient
(Qth)         Trouver  uh  Vh   tel  que  a(uh,wh) = l(wh),     wh Wh
et le caractère bien posé de (Qth) est équivalent aux deux conditions


 ou bien, de façon équivalente :

 Le première relation est appelée condition inf-sup discrète. Attention : ces propriétés doivent être démontrées. Rien ne garantit a priori que la condition inf-sup discrète sera vérifiée, même si la condition inf-sup est vérifiée.

2 .   Interprétation de  uh


On a a(u,v) = l(v),v   V , donc en particulier a(u,vh) = l(vh),vh   Vh, car Vh   V . Par  

ailleurs, a(uh,vh) = l(vh),vh   Vh. Par différence, on en déduit que
a(u  uh,vh)  =  0,   vh   Vh                                                         (2.11)
Dans le cas ou` a(.,.) est symétrique, il s’agit d’un produit scalaire sur V . uh  peut alors être 

interprétée comme la projection orthogonale de u sur Vh  au sens de a(.,.).





3.Estimation d’erreur

On a :
a(u uh,u uh)    = a(u uh,u vh  + vh   uh)            vh Vh
= a(u uh,u vh) + a(u uh,vh uh)
Or vh  uh   Vh. Donc a(u uh,vh  uh) = 0 d’apr`es (2.11). On a donc :
a(u uh,u uh)  =  a(u uh,u vh)         vh   Vh                                   (2.12)




a étant coercive, il existe α > 0 tel que a(u uh,u uh) ≥ α||u uh||², ou ||.|| est une norme sur V . Par ailleurs, a étant continue, il existe M > 0 tel que a(u uh,u vh) ≤ M||u uh ||.||u vh.|| En réinjectant ces deux inégalités de part et d’autre de (2.12) et en simplifiant par || u uh ||                           

on obtient 



ou d est la distance induite par ||.||. Cette majoration est appelée lemme de Céa. Elle
ramène l’étude de l’erreur d’approximation u uh  à l’étude de l’erreur d’interpolation d(u,Vh).





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