La soution d'Exercice sur Champ au voisinage de l’axe d’un cerceau uniformément chargé (Théorème de Gauss)




1. Champ électrostatique en un point de l’axe de l’anneau.
Les plans contenant l’axe Oz sont des plans de symétrie de la distribution des charges ; en un point M de cet axe, la direction du champ électrostatique doit appartenir à chacun de ces plans donc à leur intersection :








avec  



Or:
d’où :


Comme le plan contenant le cerceau est lui aussi un plan de symétrie de la distribution des charges on a, en un point M’ symétrique de M  par rapport au cerceau :
     
avec :



Au final, on obtient pour un point quelconque de l’axe du cerceau :

2. Champ en un point proche de l’axe.
On travaille en coordonnées cylindriques.
Pour un point M quelconque de l’espace, le plan contenant ce point M et l’axe Oz est un plan de symétrie de la distribution des charges. Le champ est donc contenu dans ce plan. D’autre part comme il y a invariance de la distribution des charges par rotation autour de l’axe Oz on peut alors écrire le champ électrostatique sous la forme :

Pour déterminer le champ, on utilise le théorème de Gauss et on choisit comme surface fermée un cylindre de génératrice l’axe Oz, de longueur dz et de rayon r.

 A l’intérieur de la surface de Gauss il n’y a pas de charges d’où :

Comme le point M considéré est très proche de l’axe on fait l’approximation suivante :
avec
pour 



D’autre part comme la longueur dz du cylindre est élémentaire, on peut considérer que : 
 On développe l’intégrale double :

 Après simplifications et en remarquant la présence de la différentielle de la fonction
on obtient :


 Pour un point M de l’axe on peut maintenant écrire le champ électrostatique sous la forme :



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