Exercice corrigé sur Lévitation d’une spire supraconductrice (Induction électromagnétique)

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Une spire rectangulaire supraconductrice de masse m est partiellement plongée dans l’entrefer d’un électro-aimant comme indiqué sur la figure. Pour simplifier, on admet que le champappliqué par l’électro-aimant est uniforme et égal à (Oy )étant l’axe horizontal perpendiculaire au plan de la figure) dans l’entrefer et nul en dehors.



On admet, pour cet exercice, que la spire supraconductrice peut se traiter comme une spire « ordinaire », dotée d’une inductance L, mais de résistance nulle.
La spire peut se déplacer en translation parallèlement à l’axe vertical (Oz). Soit Z la hauteur (Z est donc une longueur positive ou nulle) de la partie plongée dans le champ, et sa vitesse. En plus de la force de Laplace et de son poids, la bobine est soumise à une force de frottement opposée à la vitesse. Initialement, le champ est nul, le courant est nul dans la bobine qui est immobile, et Z = Z0.
A t = 0, l’électro-aimant est mis sous tension et le champ B(t) croit très rapidement, puis se stabilise à la valeur B0.

1.    Ecrire les équations (différentielles ou non) couplées reliant B(t), i(t) et Z(t).
2.    Déterminer le courant final et la valeur finale Zeq de Z. Décrire les petits mouvements autour de la position d’équilibre.
A.N. : a = b = 3,0 cm ; L = 2,0.10-7 H ;  B = 0,1 T ;  g = 9,81 m.s-2 ; m =3,0.10-3kg.
On pourra admettre qu’au cours du mouvement, Z reste toujours inférieur à b.


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