Exercice corrigé sur Guide d'ondes (Ondes électromagnétiques)

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Un guide d'ondes G est un cylindre métallique creux illimité, d'axe Oz, et dont la section droite est le rectangle 0 < x < a, 0 < y < b ; l'intérieur du guide est rempli d'air, assimilé au vide. On adopte pour les parois le modèle du conducteur parfait, c'est-à-dire de conductivité infinie; dans ces conditions, les champs E et B sont nuls dans le métal.

1.      Montrer que la composante tangentielle Et du champ électrique et la composante normale Bn, du champ magnétique doivent s'annuler sur les parois du guide.

2.      Dans toute la suite, on cherche en notation complexe un champ électrique de la forme :

a.      Montrer que A(x, y) ne dépend pas de y. Ecrire l'équation aux dérivées partielles dont est solution A(x), et montrer que nécessairement
. Dans toute la suite on pose :. Etablir les expressions possibles An (x) de A(x) et la relation de dispersion kg,n(ω) correspondante, en introduisant un entier n. Dans toute la suite, on appellera mode n, la solution associée à l'indice n.

b.      Faire apparaître une pulsation critique ωn,c ; discuter brièvement la nature des ondes obtenues.  Calculer numériquement la plus petite fréquence permettant de propager une onde dans un guide pour a = 2b = 5 cm . Pour ωωn,c, commenter l'expression de En, d'une part à z fixé et d'autre part à x fixé . Calculer la vitesse de phase et la vitesse de groupe et commenter sachant que les principes de la relativité interdisent la propagation d'une information à une vitesse supérieure à la célérité c des ondes électromagnétiques dans le vide.

3.      Calculer le champ magnétique du mode n et vérifier qu'il satisfait aux conditions aux limites.  Vérifier qu'il n'est pas transversal et interpréter graphiquement ce fait en décomposant le mode étudié en deux OemPPH.

4.      On donne les intégrales sur une section (S) quelconque du guide d'ondes :

Calculer la moyenne temporelle < P > de la puissance rayonnée à travers une section du guide d'ondes et vérifier qu'elle est constante.  Commenter en liaison avec le modèle du conducteur parfait.


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