La solution d'Exercice sur Théorème de Gauss Atome d'hydrogène.






Atome d'hydrogène.

1. Champ électrostatique.
Comme le vecteur champ électrostatique est l'opposé du gradient du potentiel V et qu'il ne dépend que r (la distribution étant à symétrie sphérique) on obtient :



2. Flux du champ.
Le flux du champ électrostatique est défini par :
 
Comme la composante du champ est radiale et constante sur une sphère de rayon r :

L'étude des limites donne :
 pour r tendant vers 0
Φ = 0 pour r tendant vers l'infini.
D'après le théorème de Gauss, la charge intérieure à une sphère de rayon r à pour expression :
.
On peut donc conclure que la charge totale de la distribution est nulle et qu'au point O on a une charge ponctuelle positive q.

3. Densité volumique de charge.
La charge contenue entre les sphères de centre O et de rayon r et r + dr est:

On obtient alors :

Cette densité de charges est négative et a une charge totale -q.

4. Fonction
La fonction étudiée est la densité radiale de charges et passe par un extremum en r = a.

5. Atome d'hydrogène.
La distance a est le rayon de Bohr qui est la distance au noyau pour laquelle la probabilité de présence de l'électron est maximale.
 
  






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