Problème de Cauchy ( Equations différentielles )

On vient de le voir, une équation différentielle a en général beaucoup de solutions, même si l’on ne s’intéresse qu’aux solutions maximales. D’un autre côté, on a vu par exemple que la trajectoire M(t) d’un point matériel au cours du temps est complètement déterminé par l’équation de Newton (une équation différentielle d’ordre 2), à condition de préciser la position et la vitesse initiale du point. Ceci conduit à la notion de problème de Cauchy pour l’équation différentielle (ED), pour lequel on espère avoir une solution unique. 




L’exemple suivant montre que la situation n’est pas aussi simple qu’on pourrait le souhaiter : il arrive qu’un problème de Cauchy ait plusieurs solutions.



Voici cependant une réponse satisfaisante, qui porte le nom de théorème de Cauchy-Lipschitz. Sous certaines hypothèses relativement faibles sur la fonction F, un problème de Cauchy admet une unique solution localement, c’est à dire sur un intervalle I contenant x0. Attention ! On n’a, en général, aucune information sur l’intervalle I d’existence de la solution. On se contente d’un énoncé pour les équations différentielles d’ordre 1, mais ce résultat est très général. On fait une hypothèse sur la régularité de F un peu plus forte que nécessaire pour simplifier les choses.



Remarque :Ce théorème peut aussi s’énoncer de la manière suivante : sous les hypothèses précédentes, le problème de Cauchy (P) admet une unique solution maximale.


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