Intégration par parties
Il arrive que l’on ait à intégrer un produit de fonctions. Bien entendu, le produit des primitives n’est pas une primitive du produit. Plus précisément, pour deux fonctions u et v dérivables, on a :
(u.v)’(x) = u’(x).v(x) + u(x).v’(x)
On en déduit la formule d’intégration par parties :
Cette formule est évidement très utile lorsque l’une des deux intégrales est beaucoup plus simple à calculer que l’autre. Soit par exemple :
On pose u(x) = x et v’(x) = cos x. On a alors u’(x) = 1 et l’on peut prendre v(x) = sin x (un autre choix de primitive est tout à fait possible mais ne change pas le résultat du calcul). On obtient donc :
(u.v)’(x) = u’(x).v(x) + u(x).v’(x)
On en déduit la formule d’intégration par parties :
Cette formule est évidement très utile lorsque l’une des deux intégrales est beaucoup plus simple à calculer que l’autre. Soit par exemple :
On pose u(x) = x et v’(x) = cos x. On a alors u’(x) = 1 et l’on peut prendre v(x) = sin x (un autre choix de primitive est tout à fait possible mais ne change pas le résultat du calcul). On obtient donc :
