Intégration par parties

Il arrive que l’on ait à intégrer un produit de fonctions. Bien entendu, le produit des primitives n’est pas une primitive du produit. Plus précisément, pour deux fonctions u et v dérivables, on a :

(u.v)’(x) = u’(x).v(x) + u(x).v’(x)

On en déduit la formule d’intégration par parties :




Cette formule est évidement très utile lorsque l’une des deux intégrales est beaucoup plus simple à calculer que l’autre. Soit par exemple :

On pose u(x) = x et v’(x) = cos x. On a alors u’(x) = 1 et l’on peut prendre v(x) = sin x (un autre choix de primitive est tout à fait possible mais ne change pas le résultat du calcul). On obtient donc :

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