Fonctions continues sur un intervalle

1-Fonctions continues sur un intervalle

Définition   On dit que f est continue sur l’intervalle ouvert ]a, b[ lorsque f est continue en chaque point de ]a, b[. On dit que f est continue sur l’intervalle fermé [a, b] lorsque
f est continue en chaque point de ]a, b[ et f est continue à droite en a et à gauche en b.


Proposition Soit a < b deux nombres réels. Si f est une fonction continue sur [a, b], alors f est bornée sur [a, b].

Preuve: Soit A = {x [a, b], f est bornée sur [a, x]}. L’ensemble A est majoré par b, et c’est une partie non-vide de R : a A puisque f(a) est un majorant et un minorant de f sur [a, a]. Donc A admet une borne supérieure, que l’on note c. Supposons que c < b. Puisque f est continue en c, il existe α > 0 tel que si |x − c| ≤ α et x ∈ [a, b], alors f(c)−1 ≤ f(x) ≤ f(c)+1. Pour δ = min{α, (b−c)/2} on a donc f bornée sur [a, c+δ], ce qui est absurde. Donc c = b et f est bornée sur [a, b].

Attention ! on ne peut pas affaiblir l’hypothèse. Par exemple la fonction f : x → 1/x est continue sur ]0, 1], mais elle n’y est pas bornée : il est indispensable que l’intervalle soit fermé. De mˆeme, la fonction f : x → x2 est continue sur [0,+∞[, mais n’est pas bornée sur cet intervalle. On retiendra donc qu’ une fonction continue sur un intervalle borné et fermé de lR est bornée.

Utilisons encore une fois l’axiome de la borne supérieure : puisque l’ensemble {f(x), x ∈ [a, b]} est non-vide (a< b) et borné, il admet une borne supérieure M et une borne inférieure m. Le résultat qui suit montre que m et M sont en fait respectivement un minimum et un maximum pour f sur [a, b].

Proposition  Si f est une fonction continue sur [a, b], il existe x0 et x1 dans [a, b] tels que
f(x0) ≤ f(x) ≤ f(x1) pour tout x [a, b].
 
2-Le Théorème des Valeurs Intermédiaires

Proposition  Soit a < b deux nombres réels, et f une fonction continue sur [a, b]. Si y est compris entre f(a) et f(b), alors il existe un moins un c [a, b] tel que f(c) = y.


Preuve: On va supposer que f(a) < f(b), la preuve étant identique dans le cas ou f(b) > f(a). Soit donc
y ]f(a), f(b)[, et A = {x [a, b], f(t) < y pour tout t [a, x]}.
A est non-vide et majoré, donc admet une borne supérieure c. Supposons que f(c) < y. Par continuité, il existe δ > 0 tel que f(c + δ) < c, ce qui est absurde. De même f(c) ne peut pas être strictement supérieur ` y, donc f(c) = y.

On peut faire mieux :

Proposition Soit a < b deux nombres réels et f une fonction continue sur [a, b].
Soient aussi m et M les bornes inférieures et supérieures de f sur [a, b]. Si y [m,M], alors il existe un moins un c [a, b] tel que f(c) = y.

Preuve: Il suffit d’appliquer le résultat précédent sur l’intervalle d’extrémités x0 et x1, ou x0, x1 [a, b] sont tels que f(x0) = m et f(x1)= M.

Pour résumer, on a démontré le résultat suivant :

Proposition Soient a < b deux réels, et f : lR → lR une fonction continue sur [a, b]. l’ensemble f([a, b]) = {f(x), x [a, b]} est l’intervalle [m,M] où m et M sont respectivement la borne inférieure et la borne supérieure de f sur [a, b].




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