Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants
Une équation différentielle linéaire du second ordre est une équation différentielle qui s’écrit
Pour certaines fonctions p, q et f continues sur un intervalle I de lR. On ne va ici considérer que le cas où p et q sont des fonctions constantes, car dans ce cas, et dans ce cas uniquement, on est capable de donner l’ensemble des solutions comme dans le cas des équations linéaires d’ordre 1.
1- Principe de superposition :
On laisse au lecteur le soin de prouver cette proposition. Comme pour les équations linéaires d’ordre 1, on voit que pour trouver TOUTES les solutions de (EDL2), il suffit de
– trouver l’ensemble des solutions de l’équation homogène associée – trouver UNE solution de (EDL2).
On ne donnera pas ici de méthode générale pour trouver une solution de (EDL2). Une telle méthode existe (c’est aussi une méthode de variation des constantes), mais est plus difficile à mettre en œuvre. On se contente de donner les solutions de l’équation homogène (H) associée.
2- Equations homogènes
(EDL2) y’’+ p(x)y’+ q(x)y = f(x)
Pour certaines fonctions p, q et f continues sur un intervalle I de lR. On ne va ici considérer que le cas où p et q sont des fonctions constantes, car dans ce cas, et dans ce cas uniquement, on est capable de donner l’ensemble des solutions comme dans le cas des équations linéaires d’ordre 1.
1- Principe de superposition :
On laisse au lecteur le soin de prouver cette proposition. Comme pour les équations linéaires d’ordre 1, on voit que pour trouver TOUTES les solutions de (EDL2), il suffit de
– trouver l’ensemble des solutions de l’équation homogène associée – trouver UNE solution de (EDL2).
On ne donnera pas ici de méthode générale pour trouver une solution de (EDL2). Une telle méthode existe (c’est aussi une méthode de variation des constantes), mais est plus difficile à mettre en œuvre. On se contente de donner les solutions de l’équation homogène (H) associée.
2- Equations homogènes
