Développement décimal d’un réel

L’autre application immédiate de l’axiome d’Archimède est de permettre de définir la partie entière d’un réel.

Proposition 1 Pour tout réel x, il existe un unique entier relatif n tel que n ≤ x < n + 1. On le note n = E(x) : c’est la partie entière du réel x.

Preuve: Soit pour commencer x ∈ lR+, et A la partie de lR définie par A = {p N, x ≥ p}. A n’est pas vide puisque 0 ∈ A. De plus, grâce à la propriété d’Archimède, il existe un entier n tel que x < n : tous les éléments de A sont donc inférieurs à n : A est un ensemble fini, donc admet un élément maximum m. Par définition de A on a alors m ≤ x < m + 1 puisque m + 1 / ∈ A.
Pour x < 0, on applique ce qui précède à −x : au total, on a alors montré que pour tout x ∈ lR, il existe un entier m tel que m ≤ x < m + 1.
Il reste à voir qu’il ne peut pas y en avoir un second : supposons que l’on ait aussi m’≤ x < m’+1.
On aurait  –m’− 1 < −x ≤ −m’  et donc m−m’− 1 < 0 < m−m’+ 1, ce qui, pour des entiers, entraine
m – m’= 0.
On peut être bien plus précis :


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