Retour sur les polynômes : division suivant les puissances croissantes

Retour sur les polynômes : division suivant les puissances croissantes

Théorème :
Soient $ A$ et $ B$ deux polynômes tels que $ B(0)\neq 0$. Pour tout entier $ n$, il existe un couple et un seul de polynômes $ (Q_n,R_n)$ vérifiant :
$ \displaystyle{A=BQ_n + X^{n+1} R_n, \ \ \deg(Q_n)\le n}$
Démonstration
Exemple : $ A=1+2X+X^3$ et $ B=1+X+2X^2$



\begin{displaymath}\begin{array}{rrrrrrrrrrr}
1&+&2X&&&+&X^3&&&&\\
&&X&-&2X^2&+...
...&&\\
&&&&&&2X^3&+&6X^4&&\\
&&&&&&&&4X^4&-&4X^5\\
\end{array}\end{displaymath} \begin{displaymath}\begin{array}{\vert l}
1+X+2X^2\\ \hline
1+X-3X^2+2X^3\\
\\
\\
\\
\end{array}\end{displaymath}



d'où $ A(X)=(1+X+2X^2)(1+X-3X^2+2X^3)+(4X^4-4X^5)$
$ \displaystyle{=(1+X+2X^2)(1+X-3X^2+2X^3)+4(1-X)X^4}$
Application aux développements limités :
- Sur l'exemple précédent :
$ \displaystyle{\frac{1+2X+X^3}{1+X+2X^2}=1+X-3X^2+2X^3 + X^3\frac{4X(1-X)}{1+X+2X^2}}$
et donc le développement limité de $ \displaystyle{\frac{1+2x+x^3}{1+x+2x^2}}$ à l'ordre 3 est $ 1+x-3x^2+2x^3$.
- DL en 0 de $ \tan$ :
$ \displaystyle{\tan(x)=\frac{x - x^3/6 +x^5/120 +x^6 \rho(x)}{1-x^2/2+x^4/24 +x^5\eta(x)}}$
$ \displaystyle{\tan(x)=x
\frac{1 - x^2/6 +x^4/120 +x^5 \rho(x)}{1-x^2/2+x^4/24 +x^5\eta(x)}}$
D'après la proposition, le DL de $ \tan$ à l'ordre 6 est donc celui de
$ \displaystyle{x\frac{1 - x^2/6 +x^4/120}{1-x^2/2+x^4/24}}$
\begin{displaymath}\begin{array}{rrrrrrrrrrr}
1&-&X^2/6&+&X^4/120&\\
&&2X^2/6&-&4X^4/120&\\
&&&&2X^4/15&-&X^6/72&\\
&&&&&&....\\
\end{array}\end{displaymath} \begin{displaymath}\begin{array}{\vert l}
1-X^2/2+X^4/24\\ \hline
1+X^2/3+2X^4/15\\
\\
\\
\end{array}\end{displaymath}



D'où le DL à l'ordre 6 : $ \displaystyle{x + \frac{x^3}{3} +\frac{2x^5}{15} + x^6\varepsilon (x)}$

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