Opérations sur les développements limités

Opérations sur les développements limités.

Proposition :
Soient $ f$ et $ g$ deux fonctions telles que $ P_n$ est le DL d'ordre $ n$ au voisinage de $ a$ de $ f$ et $ Q_n$ est le DL d'ordre $ n$ au voisinage de $ a$ de $ g$. Alors,
  1. $ P_n+Q_n$ est le DL d'ordre $ n$ au voisinage de $ a$ de $ f+g$.
  2. Le DL d'ordre $ n$ au voisinage de $ a$ de $ fg$ est obtenu en ne gardant que les termes de degré inférieur ou égal à $ n$ du produit $ P_nQ_n$.
  3. Si de plus, $ g(0)\neq 0$ et $ a=0$, le DL d'ordre $ n$ au voisinage de 0 de $ f/g$ est égal au DL d'ordre $ n$ au voisinage de 0 de $ P_n/Q_n$.
Exemple : DL en 0

  1. $ \sin(x)=x+x^2\rho_1(x)$ et $ e^x=1+x+x\rho_2(x)$ donc
    $ \displaystyle{\sin(x)+e^x=x+x^2\rho_1(x)+1+x+x\rho_2(x).}$
    $ \displaystyle{\sin(x)+e^x=1+2x+x(\rho_2(x)+x\rho_1(x))=1+2x+x\rho_3(x).}$
  2. $ \sin(x)=x+x^2\rho_1(x)$ et $ e^x=1+x+x\rho_2(x)$ donc
    $ \displaystyle{\sin(x).e^x=x+x^2+x^2\rho_2(x)+x^2\rho_1(x)+x^3\rho_1(x)+x^3\rho_1(x)\rho_2(x)}$
    $ \displaystyle{\sin(x).e^x=x+x^2+x^2(\rho_1(x)+\rho_2(x)+x\rho_1(x)+x\rho_1(x)\rho_2(x))}$
    $ \displaystyle{\sin(x).e^x=x+x^2+x^2\rho_4(x).}$
    Et on n'obtient pas plus avec $ \sin(x)=x-x^3/6+x^4\rho_5(x)$ et $ e^x=1+x+x\rho_2(x)$. Par contre, avec $ \sin(x)=x-x^3/6+x^4\rho_5(x)$ et $ e^x=1+x+x^2/2+x^2\rho_6(x)$. on obtient
    $ \displaystyle{\sin(x).e^x=x+x^2+x^3/2-x^3/6+x^3\rho_7(x).}$
    $ \displaystyle{\sin(x).e^x=x+x^2+x^3/3+x^3\rho_7(x).}$
  3. DL d'ordre 4 de $ f(x)=\ln^2(1+x)$. On commence par
    $ \displaystyle{\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+x^{4}\rho(x)}$
    $ \displaystyle{\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+x^{4}\rho(x)}$
    On effectue
    $ \displaystyle{\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+x^{4}\rho(x)\right)^2}$
    $ \displaystyle{=x\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right)
-\frac{x^2}{2}\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right)}$
    $ \displaystyle{+\frac{x^3}{3}\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\...
...c{x^4}{4}\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right)+x^{4}\rho(x)}$
    $ \displaystyle{=x^2-\frac{x^3}{2}+\frac{x^4}{3}-\frac{x^3}{2}+\frac{x^4}{4}
+\frac{x^4}{3}+x^4\rho(x)}$
    $ \displaystyle{f(x)=\ln^2(1+x)=x^2-x^3+\frac{11x^4}{12}+x^4\rho_2(x)}$
  4. Soit $ P(x)=1+x^2$, le DL de $ \displaystyle{\frac{1}{1-xP(x)}}$ s'obtient en utilisant le DL de $ \displaystyle{\frac{1}{1-u}}$ :
    $ \displaystyle{\frac{1}{1-u} = 1 +u+u^2+\cdots+x^n+x^n \rho(x)}$
    On en déduit que
    $ \displaystyle{\frac{1}{1-xP(x)} = 1+xP(x)+x^2P(x)^2+\cdots+x^nP(x)^n+x^n \rho_2(x)}$
    Attention : ceci est un DL au voisinage de 0 et cette relation n'est vraie que parce que $ x$ est en facteur devant $ P(x)$. Sous ces réserves, on a :
    $ \displaystyle{\frac{1}{1-xP(x)} = 1+ x(1+x^2) + x^2(1+x^2)^2 + x^3(1+x^2)^3 + x^3 \rho(x)}$
    $ \displaystyle{\frac{1}{1-xP(x)} = 1+ x+x^3 + x^2+2x^4+x^6 + x^3+3x^5+3x^7+x^9 + x^3 \rho(x)}$
    $ \displaystyle{\frac{1}{1-x-x^3} = 1+ x+x^2+2x^3+ x^3 \rho_2(x)}$
  5. Soit $ P(x)=1-x$, le DL de $ \displaystyle{\frac{1}{1-x^2P(x)}}$ s'obtient en utilisant le DL de $ \displaystyle{\frac{1}{1-u}}$ :
    $ \displaystyle{\frac{1}{1-x^2P(x)} = 1+x^2P(x)+x^4P(x)^2+\cdots+x^{2n}P(x)^n+x^{2n} \rho(x)}$
    $ \displaystyle{\frac{1}{1-x^2P(x)} = 1+ x^2(1-x) + x^4(1-x)^2 + x^6(1-x)^3 + x^6 \rho(x)}$
    $ \displaystyle{\frac{1}{1-x^2P(x)} = 1+ x^2-x^3 + x^4-2x^5+x^6 + x^6+x^6 \rho_2(x)}$
    $ \displaystyle{\frac{1}{1-x^2+x^3} = 1+ x^2-x^3+ x^4-2x^5+2x^6 + x^6 \rho_2(x)}$
  6. DL en 0 de $ \tan$ :
    $ \displaystyle{\tan(x)=\frac{x - x^3/6 +x^5/120 +x^6 \rho(x)}{1-x^2/2+x^4/24 +x^5\eta(x)}}$
    $ \displaystyle{\tan(x)=x
\frac{1 - x^2/6 +x^4/120 +x^5 \rho(x)}{1-x^2/2+x^4/24 +x^5\eta(x)}}$
    D'après la proposition, le DL de $ \tan$ à l'ordre 6 est donc celui de
    $ \displaystyle{x\frac{1 - x^2/6 +x^4/120}{1-x^2/2+x^4/24}}$
    $ \displaystyle{=x\left(1 - \frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120}\right)\frac{1}{1-x^2(1/2-x^2/24)}}$
    $ \displaystyle{=x\left(1 - \frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120}\right))\times}$
    $ \displaystyle{\left(1+x^2(\frac{1}{2}-\frac{x^2}{24}) + x^4(\frac{1}{2}-\frac{x^2}{24})^2 + x^6(\frac{1}{2}-\frac{x^2}{24})^3 + x^5\eta_2(x)\right)}$
    $ \displaystyle{=x\left(1 - \frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120}\right)\left(1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24} + \frac{x^4}{4} + x^5\eta_3(x)\right)}$
    $ \displaystyle{=x\left(1 - \frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120}\right)\left(1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24} + x^5\eta_3(x)\right)}$
    $ \displaystyle{=x\left(1 - \frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} +\frac{x^2}{2}(1 - \frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} ) +\right.}$
    $ \displaystyle{\left. \frac{5x^4}{24} (1 - \frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} ) + x^5\eta_3(x)\right)}$
    $ \displaystyle{=x\left(1 - \frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} +\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{12}
+ \frac{5x^4}{24}+ x^5\eta_4( x)\right)}$
    $ \displaystyle{=x\left(1 + \frac{x^2}{3} +\frac{16x^4}{120} + x^5\eta_4(x)\right)}$
    $ \displaystyle{=x + \frac{x^3}{3} +\frac{2x^5}{15} + x^6\eta_4(x)}$

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