Notation de Landau

Notation de Landau

Soit $ \phi$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert contenant $ x_0$. On veut comparer $ f$ à $ \phi$ : on s'intéresse à savoir si $ \displaystyle{\left\vert\frac{f}{\phi}\right\vert}$ est borné ou a une limite nulle en un point. MAIS, on ne peut écrire le rapport que si $ \phi$ ne s'annule pas.
Définition :
[Notations de Landau] Soit $ f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert contenant $ x_0$. On dit que $ f\in O(\phi)$ au voisinage de $ x_0$ si et seulement si il existe $ \eta>0$ et $ k\in{\mathbb{R}}^+$ tels que
$ \displaystyle{\forall x\in ]x_0-\eta,x_0+\eta[, \vert f(x)\vert<k\vert\phi(x)\vert}$
Si $ \phi$ ne s'annule pas, on a :
$ \displaystyle{\forall x\in ]x_0-\eta,x_0+\eta[, \left\vert\frac{f(x)}{\phi(x)}\right\vert<k}$
On dit que $ f\in o(\phi)$ au voisinage de $ x_0$ si et seulement si pour tout $ \varepsilon >0$ il existe $ \eta>0$ tel que
$ \displaystyle{\forall x\in ]x_0-\eta,x_0+\eta[, \vert f(x)\vert<\varepsilon \vert\phi(x)\vert}$
Si $ \phi$ ne s'annule pas, on a :
$ \displaystyle{\forall x\in ]x_0-\eta,x_0+\eta[, \left\vert\frac{f(x)}{\phi(x)}\right\vert<\varepsilon }$
On dit aussi dans ce dernier cas que $ f$ est négligeable devant $ \phi$ au voisinage de $ x_0$ .
Remarques :
  • La définition précédente est plus simple si $ \phi$ ne s'annule pas (sauf peut-être en $ x_0$) car alors on s'intéresse au rapport $ \displaystyle{\left\vert\frac{f}{\phi}\right\vert}$ qui est borné pour $ O$ ou a une limite nulle pour $ o$.
  • On note aussi $ f=O(\phi)$ ou $ f=o(\phi)$ au voisinage de $ x_0$.
  • On peut remarquer que si
    $ \displaystyle{f(x)=P_n(x)+O((x-a)^{n+1})}$
    alors
    $ \displaystyle{f(x)=P_n(x)+o((x-a)^n)}$
    et donc $ P_n$ est un développement limité d'ordre $ n$ de $ f$ en $ a$.
Proposition :
Si $ f$ et $ g$ sont telles que $ f=O(\phi)$ et $ g=O(\phi)$ alors $ f+g=O(\phi)$. Si $ f$ et $ g$ sont telles que $ f=o(\phi)$ et $ g=o(\phi)$ alors $ f+g=o(\phi)$.

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