Fonctions équivalentes en l'infini

Fonctions équivalentes en l'infini

Définition :
Soient $ f$ et $ g$ deux fonctions numériques définies sur un ensemble $ A$. On dit que $ f$ est équivalente à $ g$ au voisinage de $ +\infty$ (resp. $ -\infty$) si $ f-g=o(g)$ au voisinage de $ +\infty$ (resp. $ -\infty$) . On note $ f\sim_{+\infty} g$ (resp. $ f\sim_{-\infty} g$).
Remarques :
  • La relation $ \sim$ est une relation d'équivalence.
  • ATTENTION : on n'a donné aucune règle générale pour additionner des $ O$, des $ o$ ou des équivalents.
Proposition :

  • Si $ f_1\sim g_1$ et $ f_2\sim g_2$ alors $ f_1f_2\sim g_1g_2$.
  • Si $ f\sim g$ et si $ 1/f$ est défini sur l'ensemble $ A$ correspondant alors $ 1/f\sim 1/g$.
  • Si $ f\sim g$ et si $ f\circ h$ et $ g\circ h$ sont définis sur un ensemble $ A$ alors $ f\circ h\sim g\circ h$.
Exemples :
  • Pour les polynômes :
    $ \displaystyle{2x^3+x-5\ \sim_0 -5}$
    $ \displaystyle{2x^3+x-5 = x^3(2+1/x-5/x^2)\sim_{+\infty} 2x^3}$
  • Pour les fractions rationnelles :
    $ \displaystyle{\frac{2x^3+x-5}{5x^6-7x^5+2x^2}\ \sim_0 \frac{-5}{2x^2}}$
    $ \displaystyle{\frac{2x^3+x-5}{5x^6-7x^5+2x^2} \sim_{+\infty} \frac{2x^3}{5x^6}= \frac{2}{5x^3}}$

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