Extension des notations de Landau en l'infini

Extension des notations de Landau en l'infini

Soit $ A$ un ensemble de la forme $ ]b,+\infty[$ ou $ ]-\infty,b[$ et soit $ \phi$ une fonction numérique définie sur $ A$. On notera $ A_\eta=]\eta,+\infty[$ ou $ ]-\infty,-\eta[$ suivant les cas.
Définition (Notations de Landau en l'infini) :
Soit $ f$ une fonction numérique définie sur $ A$. On dit que $ f\in O(\phi)$ si et seulement si il existe $ \eta>0$ et $ k\in{\mathbb{R}}^+$ tels que
$ \displaystyle{\forall x\in A_\eta, \vert f(x)\vert<k\vert\phi(x)\vert}$
On dit que $ f\in o(\phi)$ si et seulement si pour tout $ \varepsilon >0$ il existe $ \eta>0$ tel que
$ \displaystyle{\forall x\in A_\eta, \vert f(x)\vert<\varepsilon \vert\phi(x)\vert}$
On dit aussi dans ce dernier cas que $ f$ est négligeable devant $ \phi$.
Remarque : On note aussi $ f=O(\phi)$ ou $ f=o(\phi)$ au voisinage de l'infini.

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