Etude d'une fonction au voisinage de l'infini

Etude d'une fonction au voisinage de l'infini

Exemple : Au voisinage de $ +\infty$ :
$ \displaystyle{\frac{1}{x-1}=\frac{1/x}{1-1/x}=\frac{1}{x} (1+ 1/x + \ldots +1/x^n + 1/x^n \rho(1/x))}$
$ \displaystyle{=1/x+ 1/x^2 + \ldots +1/x^{n+1} + 1/x^{n+1} \rho(1/x)}$
Si $ f$ est définie sur un intervalle du type $ ]b,+\infty[$ (ou $ ]-\infty,b[$), on se ramène au cas précédent en posant $ u=1/x$ et en étudiant la fonction $ F(u)=f(1/u)$ au voisinage de 0.
Définition :
Soient $ n\in{\mathbb{Z}}$, $ f$ une fonction numérique telle que $ ]b,+\infty[\subset{\cal D}_f$ (resp. $ ]-\infty,b[\subset{\cal D}_f$) et $ R_n$ une fraction rationnelle de la forme
$ \displaystyle{R_n(X)=\sum_{k=p}^n \alpha_k X^{-k}, \hbox{ o\\lq u } p\in{\mathbb{Z}}\hbox{ et } p\le n}$
On dit que $ R_n$ est un développement asymptotique d'ordre $ n$ pour $ f$ au voisinage de $ +\infty$ (resp. $ -\infty$) si on a :
$ \displaystyle{f(x)=R_n(x)+x^{-n} \rho(x)}$
$ \rho$ est une fonction numérique telle que $ \rho(x)$ tend vers 0 quand $ x$ tend vers $ +\infty$ (resp. $ -\infty$).

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