Equivalents (Fonctions)

Equivalents

Définition :
Soient $ f$ et $ g$ deux fonctions numériques définies sur un intervalle ouvert contenant $ x_0$. On dit que $ f$ est équivalente à $ g$ au voisinage de $ x_0$ si $ f-g=o(g)$ au voisinage de $ x_0$. On note $ f\sim_{x_0} g$.
Remarque : La relation définie ci-dessus est une relation d'équivalence sur l'ensemble des fonctions numériques définies sur un ouvert contenant $ x_0$.
Proposition :
Si la fonction $ g$ est définie sur l'intervalle ouvert $ I$ contenant $ x_0$ et si $ g$ ne s'annule pas sur $ I-\{x_0\}$ alors $ f\sim_{x0} g$ si et seulement si $ f(x_0)=g(x_0)$ et
$ \displaystyle{\lim_{x\to x_0, x\neq x_0} \frac{f(x)}{g(x)} =1}$
Exemple :
  • $ \sin(x)\sim_0 x$
  • $ 1-\cos(x)\sim_0 x^2/2$
  • Pour tout entier positif $ n$, $ \displaystyle{\exp\left(\frac{-1}{x^2}\right)=o(x^n)}$ au voisinage de 0.
Remarque : On recherche en général, comme c'est le cas ci-dessus, des équivalents sous forme de polynômes mais on ne garde que le premier terme : les relations
$ \displaystyle{\sin(x)\sim_0 x \ \ \ \ \ \sin(x)\sim_0 x-\frac{x^3}{6} \ \ \ \ \ \sin(x)\sim_0 x -x^2 }$
sont toutes les trois correctes, en effet les rapports
$ \displaystyle{\frac{\sin(x)}{x} \ \ \ \ \ \frac{\sin(x)}{x-\frac{x^3}{6}} \ \ \ \ \ \frac{\sin(x)}{x - x^2} }$
ont tous pour limite 1 quand x tend vers 0. Et donc, seul le premier terme est pertinent.
Proposition :
Si $ f_1 \sim_{x_0} g_1$ et $ f_2 \sim_{x_0} g_2$ alors $ f_1f_2 \sim_{x_0} g_1g_2$.
Si $ f\sim_{x_0} g$ et si $ 1/f$ et $ 1/g$ sont définies au voisinage de $ x_0$ alors on a $ 1/f \sim_{x_0} 1/g$.
Si $ h$ est continue dans un voisinage de $ u_0$ et vérifie $ h(u_0)=x_0$ et si $ f\circ h$ et $ g\circ h$ sont définies au voisinage de $ x_0$ alors la relation $ f\sim_{x_0} g$ implique $ f\circ h \sim_{u_0} g\circ h$



ATTENTION : Il n'est pas possible en règle générale d'additionner des équivalents.
Exemples :
$ \displaystyle{\sin(x)\sim_{0} x \ \ \ \ \ \cos(x)\sim_{0} 1 \ \ \ \hbox{et} \ \ \ \sin(x)+\cos(x)\sim_{0} 1}$
$ \displaystyle{\sin(x)\sim_{0} x \ \ \ \ \ \tan(x)\sim_{0} x \ \ \ \hbox{et} \ \ \ \sin(x)+\tan(x)\sim_{0} 2x}$
$ \displaystyle{\sin(x)\sim_{0} x \ \ \ \ \ \tan(x)\sim_{0} x \ \ \ \hbox{et} \ \ \ \sin(x)-\tan(x)\sim_{0} -\frac{x^3}{2}}$
La dernière relation provient en fait des développements limités :
$ \displaystyle{\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+x^{4}\rho(x)}$
$ \displaystyle{\tan(x)=x + \frac{x^3}{3} + x^4\eta(x)}$
Exemple : En 0:
$ \displaystyle{\sin(x)-x\cos(x)}$
$ \displaystyle{=(x-x^3/6+x^4\rho_1(x))-x(1-x^2/2+x^3\rho_2(x))}$
$ \displaystyle{=x^3/3 + x^4\rho(x)}$
donc $ \sin(x)-x\cos(x)\sim_0 x^3/3$ et on peut en déduire (entre autre) que
$ \displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{x^3}{\sin(x)-x\cos(x)} = 3}$
mais aussi que
$ \displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{\tan^3(x)}{\sin(x)-x\cos(x)} = 3}$
puisque $ \tan(x)\sim_0 x$ et donc $ \tan(x)^3\sim_0 x^3$
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