Ensembles de nombres

1.1 Ensembles des nombres
Vous avez rencontré jusqu`a présent différents types de nombres : d’abord les entiers, ou entiers naturels, dés la petite enfance, puis au collége les entiers relatifs et les rationnels. Vous avez noté l’ensemble des entiers, celui des entiers relatifs, et celui des rationnels. En identifiant les entiers naturels aux entiers relatifs positifs, vous avez ´ecrit puis en identifiant les entiers relatifs aux fractions rationnelles dont le d´enominateur est 1, vous avez aussi ´ecrit :
Dans vous savez faire des additions et des soustractions, des multiplications et des divisions.
Vous savez aussi comparer deux nombres rationnels quelconques.
ça n’est pas tout.Vous avez rencontré et on vous a dit qu’il ne s’agit pas de nombres rationnels. Vous avez alors admis l’existence d’un ensemble de nombre noté ,dit ensemble
des nombres réels, tel que et dans lequel vous pouvez faire additions, soustractions,
multiplications et divisions, et aussi comparer deux nombres réels quelconques.
Dans ce premier chapitre, on veut d’abord faire le point sur les règles qui r´egissent la manipulation des nombres réels. On veut aussi mettre l’accent sur une propriété essentielle de, qui n’est pas vraie dans l’ensemble des rationnels, et dont on va déduire la plupart des résultats de ce cours : la propriété de la borne supérieure.
Pour commencer, il est temps de montrer la :
Proposition :Il n’existe pas de nombre rationnel dont le carré est 2. Autrement dit √2 n’est pas un rationnel.
Au passage, il est important de s’interroger sur ce que signifie cette ”preuve”, ou plus précisément sur ce que l’on entend en mathématique lorsque l’on parle de ” démonstration” :à partir de propriétés déjà établies (des théorèmes) et de notions déjà définies, on déduit une nouvelle propriété en utilisant les règles de la logique mathématique. Ici par exemple, on a utilisé les notions de fraction irréductible et de nombre pair, on a utilisé la propriété ”siest pair alors n est pair”. . . Dans ce ”jeu de construction” que sont les mathématiques, il faut bien sur avoir un socle : c’est le rôle de ce que l’on nomme axiomes. Un axiome est un énoncé mathématique admis une fois pour toutes, et qui n’a pas pour vocation d’être démontré. Vous avez par exemple certainement entendu parler des axiomes d’Euclide, qui fondent la géométrie euclidienne, dont le célèbre ”par un point passe une et une seule droite parallèle `a une droite donnée”. La démarche mathématique telle que l’on vient de l’esquisser peut paraitre fastidieuse. Mais il faut avoir en tète l’une des septicités importantes des mathématiques par rapport aux autres sciences : une fois que vous avez démontré un théorème, celui-ci est vrai pour l’´eternité !
Au niveau ou se situe ce cours, on va voir affleurer quelques axiomes de l’analyse concernant les nombres réels : les théorèmes que nous ´établirons ensuite reposeront parfois directement sur ce socle. La propriété de la borne supérieure évoquée plus haut est l’un de ces axiomes.
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