Démonstration Retour sur les polynômes : division suivant les puissances croissantes

Théorème :
Soient $ A$ et $ B$ deux polynômes tels que $ B(0)\neq 0$. Pour tout entier $ n$, il existe un couple et un seul de polynômes $ (Q_n,R_n)$ vérifiant :
$\displaystyle A=BQ_n + X^{n+1} R_n , \ \ \deg(Q_n)\le n$

Démonstration :
- Unicité : par l'absurde. Supposons qu'il y ait deux couples solutions : $ (Q,R)$ et $ (S,T)$. On a alors $ B(Q-S)+X^{n+1}(R-T)=0$. Puisque $ B(0)\neq 0$, 0 n'est pas une racine de $ B$ et donc $ X$ ne divise pas $ B$. La relation précédente implique donc que $ X^{n+1}$ divise $ Q-S$. Or $ \deg(Q-S)\le n$, ce qui est impossible.
- Existence : par récurrence.
Posons $ \displaystyle{A(X)=\sum_{k=0}^p a_k X^k}$ et $ \displaystyle{B(X)=\sum_{k=0}^q b_k X^k}$.
Pour $ n=0$, il suffit de poser $ Q_0(X)=a_0/b_0$ et $ \displaystyle{R_0=\frac{A-BQ_0}{X}}$.
Supposons maintenant la relation vraie à l'ordre $ n$ et posons $ \displaystyle{\lambda_{n+1}=\frac{R_n(0)}{B(0)}}$ et $ \displaystyle{S=\frac{R_n-\lambda_{n+1} B}{X}}$. On a alors
$ \displaystyle{A=BQ_n+X^{n+1}R_n=BQ_n+X^{n+1}(SX+\lambda_{n+1}B)}$
$ \displaystyle{=B(Q_n+\lambda_{n+1}X^{n+1}) + X^{n+2}}$
et il suffit de poser $ Q_{n+1}=Q_n+\lambda_{n+1}X^{n+1}$ et $ R_{n+1}=S$ puis de vérifier que $ \deg(Q_{n+1})\le n+1$.

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