Composition de développements limités

Composition de développements limités.

Proposition :
Soient $ f$ et $ g$ deux fonctions telles que $ P_n$ est le DL d'ordre $ n$ au voisinage de 0 de $ f$ et $ Q_n$ est le DL d'ordre $ n$ au voisinage de 0 de $ g$. Si $ f(0)=0$, la fonction $ g\circ f$ admet le même développement limité d'ordre $ n$ en 0 que le polynôme $ Q_n\circ P_n$ : ce DL est donc obtenu en ne gardant que les termes de degré inférieur ou égal à $ n$ de $ Q_n\circ P_n$.
Exemple : DL d'ordre 5 en 0 de $ \exp(\sin(x))$ : On commence par
$ \displaystyle{e^u=1+u+\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{6}+\frac{u^4}{24}+\frac{u^5}{120}+u^{5}\rho(u)}$
$ \displaystyle{\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+x^{6}\eta(x)}$
et on effectue :
$ \displaystyle{\exp(\sin(x))=1+\left( x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}\right)
+\frac{1}{2}\left(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}\right)^2}$
$ \displaystyle{+\frac{1}{6}\left(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}\right)^3
+\fra...
...ac{1}{120}\left(x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}\right)^5
+x^{5}\varepsilon (x)}$
$ \displaystyle{\exp(\sin(x))=1+ x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}
+\frac{1}{2}\left(x^2-\frac{x^4}{3}\right)
+\frac{1}{6}\left(x^3-\frac{x^5}{2}\right)}$
$ \displaystyle{+\frac{1}{24}x^4+\frac{1}{120}x^5+x^{5}\varepsilon (x)}$
$ \displaystyle{\exp(\sin(x))=1+ x+\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{24}x^4
-\frac{8}{120}x^5+x^{5}\varepsilon (x)}$
$ \displaystyle{\exp(\sin(x))=1+ x+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{8}x^4
-\frac{1}{15}x^5+x^{5}\varepsilon (x)}$
Exemple : DL d'ordre 4 en 0 de $ (1+x)^x=\exp(x\ln(1+x))$. On commence par
$ \displaystyle{e^u=1+u+\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{6}+\frac{u^4}{24}+u^{4}\rho(u)}$
$ \displaystyle{\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+x^{4}\rho(x)}$
puis
$ \displaystyle{\exp(x\ln(1+x))=1+x\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4...
...ight)
+\frac{x^2}{2}\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right)^2}$
$ \displaystyle{+\frac{x^3}{6}\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\...
...4}{24}\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right)^4
+x^{4}\rho(x)}$
$ \displaystyle{\exp(x\ln(1+x))=1+x^2-\frac{x^3}{2}+\frac{x^4}{3}+\frac{x^4}{2}+x^{4}\rho(x)}$
$ \displaystyle{\exp(x\ln(1+x))=1+x^2-\frac{x^3}{2}+\frac{5x^4}{6}+x^{4}\rho(x)}$
Exercice : Déterminer $ \displaystyle{\lim_{x\to 0} (1+\sin(x))^{1/x}}$
$ \displaystyle{(1+\sin(x))^{1/x} = \exp\left(\frac{1}{x} \ln(1+\sin(x))\right)}$
$ \displaystyle{\sin x=x+x^{2}\eta(x)}$
et donc
$ \displaystyle{\ln(1+\sin(x)) = (x+x^{2}\eta(x))
-\frac{1}{2}(x+x^{2}\eta(x))^2+x^{2}\rho(x)}$
$ \displaystyle{\ln(1+\sin(x)) = x-\frac{x^2}{2}+x^2\rho_2(x)}$
$ \displaystyle{\frac{1}{x}\ln(1+\sin(x)) = 1-\frac{x}{2}+x\rho_2(x)}$
donc $ \displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}\ln(1+\sin(x)) = 1}$ et $ \displaystyle{\lim_{x\to 0} (1+\sin(x))^{1/x}=e}$
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