Cas d'une fonction non bornée au voisinage de a

Cas d'une fonction non bornée au voisinage de $ a$

Exemple : Au voisinage de 0 :
$ \displaystyle{\frac{1}{\sin(x)}= \frac{1}{x-x^3/6+x^5/120+x^6\rho (x)}}$
$ \displaystyle{= \frac{1}{x}\times\frac{1}{1-x^2/6+x^4/120+x^5\rho (x)}}$
$ \displaystyle{= \frac{1}{x}\left[1+x^2/6+7x^4/360+x^5\rho (x)\right]}$
$ \displaystyle{= \frac{1}{x}+x/6+7x^3/360+x^4\rho (x)}$
Définition :
Soient $ n\in{\mathbb{Z}}$, $ f$ une fonction numérique telle que $ ]a-\epsilon,a[\cup]a,a+\epsilon[\subset{\cal D}_f$ et $ R_n$ une fraction rationnelle de la forme
$ \displaystyle{R_n(X)=\sum_{k=-p}^n \alpha_k (X-a)^k, \hbox{ o\\lq u } p\in {\mathbb{N}}\hbox{ et } p\le n}$
$ \displaystyle{R_n(X)=\frac{\alpha_{-p}}{(X-a)^p}+
\frac{\alpha_{-p+1}}{(X-a)^{p-1}}+\cdots +
\alpha_0+ \alpha_1(X-a) +\cdots + \alpha_n(X-a)^n }$
On dit que $ R_n$ est un développement asymptotique d'ordre $ n$ pour $ f$ au voisinage de $ a$ si on a :
$ \displaystyle{f(x)=R_n(x)+(x-a)^n \rho(x)}$
$ \rho$ est une fonction numérique définie sur un voisinage de $ a$ telle que $ \rho(a)=0$ et $ \rho(x)$ tend vers 0 quand $ x$ tend vers $ a$.
Remarque : Alors, $ (x-a)^{-p} R_n(x)$ est un développement limité d'ordre $ n-p$ de $ (x-a)^{-p} f(x)$ au voisinage de $ a$. En effet :
$ \displaystyle{(x-a)^{-p} f(x)=(x-a)^{-p} R_n(x)+(x-a)^{n-p} \rho(x)}$
et
$ \displaystyle{(x-a)^{-p} R_n(X)=\sum_{k=0}^{n-p} \alpha_{k+p} (X-a)^k}$
de plus $ n-p$ est positif.
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