2. METHODE ENERGETIQUE EN ELASTICITE






2. METHODE ENERGETIQUE EN ELASTICITE





Pour effectuer un calcul de structure, il est nécessaire de connaître :
[ ](1)
Les différentes formulations énergétiques permettent de faire une synthèse de ces trois éléments constitutifs d'un problème de structure, et ainsi d'obtenir une formulation plus compacte et donc facile à discrétiser. Ce sont ces formulations qui sont à la base des méthodes par éléments finis.

2.1. Rappel du théorème des puissances virtuelles

Soit D le domaine 3-D, [ ]les forces de volume, [ ]les forces de surface
[ ]
Les champs virtuels vérifiant
[ ]sont dit cinématiquement admissible à 0, noté C.A.{0}
Les champs virtuels vérifiant
[ ]sont dit cinématiquement admissible, noté C.A.
Principe des Puissances Virtuelles :
[ ]

[ ]
Dans le cas particulier de la statique il s'écrit :
[ ](3)
C'est à partir de ce résultat et en introduisant la loi de comportement du matériau que l'on obtient la formulation variationnelle d'un problème d'élasticité.

2.2. Les différentes formulations

Dans ce chapitre nous allons étudier le cas d'un problème d'élasticité isotherme statique.

2.2.1. Formulation P.P.V.

Nous allons définir les différentes relations permettant d'écrire un problème complet d'élasticité isotherme statique .
La loi de comportement :
[ ]
Les tenseurs L et M, ont des propriétés de symétrie.
Les conditions aux limites :
[ ]
En introduisant la loi de comportement (4) dans l'écriture du P.P.V., on obtient :
[ ]
[ ]sont les réactions inconnues le long de la surface, ou du bord , ayant un déplacement imposé. Aussi pour éliminer ces inconnues nous allons choisir un champ de déplacement virtuel cinématiquement admissible à zéro.. En prenant un tel champ il est possible de réécrire la puissance virtuelle des efforts extérieurs, qui dans ce cas est réduite à la puissance des efforts donnés :
[ ]
Il est possible de montrer que [ ]est une forme bilinéaire symétrique en u(x) et u*(x). Désormais, nous noterons cette forme bilinéaire par K(u,u*). Donc tout problème d'élasticité isotherme en petite déformation (indépendance du domaine envers u(x)) qui peut s'écrire Pb(I):
[ ]
admet la formulation du principe des puissances virtuelles équivalente suivante :
Formulation 1
[ ](9)
où :
[ ]
La démonstration de l'équivalence entre le Pb(I) et la FV1 sera laissée à la discrétion du lecteur !!!!!

2.2.2. Energie Potentielle

Définition :
L'énergie de déformation par unité de masse ou densité d'énergie de déformation, notée [omega]([epsilon]) , est une fonction telle que la loi de comportement s'écrive :
[ ]
* Le tenseur des contraintes [sigma] dérive d'un potentiel, [omega]([epsilon]).
* [ ].
Déterminons [omega]([epsilon]) :
[ ]
Nous faisons apparaître ici seulement la partie due à un chargement mécanique car nous sommes dans un isotherme. Dans un cadre plus général il est facile de montrer qu'il s'écrit de la façon suivante :
[ ]
Calculons :
[ ]
Proposition 1 :
[ ]
Définition de l'énergie potentielle :
On appelle énergie potentielle la fonctionnelle suivante :
[ ]
Formulation 2
[ ]
Le champ de déplacement qui vérifie la formulation 2 est solution du Pb(I). La démonstration de cette proposition est à faire à l'aide du travail virtuel des efforts donnés.
Rq: Cette formulation est très adaptée aux méthodes de discrétisation de type Gallerkine ou Ritz. Elle est généralement le support pour la méthode par élément finis.

2.2.3. Energie Potentielle complémentaire

Nous rappelons que le problème complet s'écrit de la façon suivante :
[ ]
Définition :
* L'ensemble des champs de contraintes statiquement admissible noté S.A. est défini par :
[ ]
Définition :
L'énergie de déformation par unité de masse ou densité d'énergie de déformation, notée wc([sigma]) , est une fonction telle que la loi de comportement (4) s'écrive dans le cas isotherme:
[ ]
* Le tenseur des contraintes [sigma] dérive d'un potentiel ,wc([sigma])
* [ ]
Déterminons wc([sigma]) :
[ ]
Nous faisons apparaître ici seulement la partie due à un chargement mécanique car nous sommes dans un cadre isotherme. Dans un cadre plus général il est facile de montrer qu'elle s'écrit de la façon suivante :
[ ]
Calculons :
[ ]
Définition de l'énergei potentielle complémentaire :
[ ]
Théorème :
Toute solution [sigma] du problème initial réalise un minimum de l'énergie potentiel complémentaire sur l'ensemble des champs statiquement admissibles. Cette solution est unique.
Démonstration
étape 1:
On multiplie la loi de comportement par [ ]qui est un champ statiquement admissible S.A.(0,0) et on intègre.
[ ]
Soit un tenseur de contrainte [sigma]' lui aussi S.A.(0,0) et champ de déplacement réel u(x) correspondant au champ de contrainte [sigma] réel. On a alors :
[ ]
Etape 2:
L définie positif [ ]M définie positif
[ ]
L'extremum est un minimum et il est unique.
Formulation 2
[ ]
Rq: La discrétisation à partir de cette formulation par la méthode de Gallerkine ou Ritz est possible mais dans un cas général impossible à mettre en oeuvre. Car il faut identifier des champs de contrainte statiquement admissible. Il y a cependant deux exceptions notables :
* Les modèles à une dimension où l'ensemble des S.A. est de dimension finie égale au degré d'hyperstaticité.
* L'élasticité plane sans chargement volumique.

2.2.4. Formulation mixte

Les méthodes en déplacement sont précises pour trouver u(x), mais moins précises pour trouver les contraintes. Les méthodes en contraintes sont très séduisantes car précises en contrainte donc en déplacement, mais elles sont quasiment impossible à mettre en oeuvre. D'où l'idée de mettre en place une fonctionnelle en (u,[sigma]), pour cela il suffit d'introduire des multiplicateurs de Lagrange.
On rappelle que le problème :
[Picture]
Avantage : on n'a plus à imposer les conditions gi(u)=0, elles deviennent des conséquences de [fig]
Inconvénient : Nous avons introduit des variables supplémentaires [lambda]. On dit alors que l'on a relaxé les conditions.
Pour mettre en évidence la fonctionnelle de Elinger-Reisner, il faut partir du théorème de l'énergie complémentaire.
[fig]
Pour relaxer la condition [fig], on introduit un multiplicateur u(x) défini sur D et la fonctionnelle devient :
[fig]
La deuxième intégrale étant mal commode pour une discrétisation, si u est linéaire continue par morceau alors [sigma] est constante par morceau et donc div([sigma] ) n'est pas définie. Nous allons donc faire une intégration par partie du second terme.
[fig]
[fig]
d'où :
[fig]
[fig]
Si on calcule [fig], on obtient la loi de comportement du matériau :
[fig]
Le multiplicateur de Lagrange peut donc s'identifier au déplacement. De même en faisant varier [sigma] sur le bord de D, on obtient :
[fig]
Cette condition est facile à réaliser, elle correspond à la condition des cinématiquement admissibles. Nous pouvons donc écrire la fonctionnelle mixte, L(u,[sigma]), pour les champs cinématiquement admissible :
[fig]
Formulation 3 :
[fig]
Rq : La discrétisation à l'aide de cette formulation est possible avec Gallerkine ou Ritz. Elle entraîne l'utilisation des éléments mixtes pour la méthode éléments finis.



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