6. Quelques éléments




6. Quelques éléments






Nous allons ici présenter complètement un certain nombre d'éléments, pour permettre une meilleur compréhension de la méthode par éléments finis et de ces résultats. Pour pouvoir assembler des matrices de rigidité élémentaire il faut pouvoir les expliciter, c'est ce que nous allons faire maintenant. Nous rappelons que dans un maillage il est possible d'utiliser uniquement des éléments ayant les même degrés d'interpolation pour la géométrie et pour les déplacements.

6.1. Elément 1-D

6.1.1. Barre à champ linéaire (2 noeuds)

C'est l'élément le plus simple : il est composé de deux noeuds ayant chacun 1 ddl. L'interpolation des déplacements sur l'élément est linéaire. Cet élément est utilisé pour traiter les problèmes de traction-compression dans une barre.
[fig]
En utilisant les notations classiques
[fig]
[fig] qi est le déplacement du noeud i dans le repère lié à la barre. Il est facile de déterminer les fonctions Ni(x) à partir des relations suivantes :
[fig]
[fig]
L est la longueur de l'élément considéré. Il apparaît donc que les fonctions de base ainsi définies dépendent de l'élément. Cette dépendance rend difficilement programmable de tel fonctions, à chaque longueur d'élément correspond deux fonctions de base. Ce problème est résolu en utilisant un élément de référence :
[fig]
r est la coordonnée intrinsèque de l'élément de référence. Il est simple de passer de l'élément de référence à l'élément réel à l'aide du changement de variable suivant :
[fig]
où les Gi sont appelées les fonctions d'interpolation géométrique. Il suffit alors de faire ce changement de variable dans les fonctions d'interpolation des déplacements, Ni(x) pour obtenir :
[fig]
Dans ce cas particulier les deux couples de fonctions sont identiques, c'est pourquoi on parle d'élément Isoparamétrique. L'interpolation en déplacement est la même que l'interpolation géométrique. Calculons l'énergie de déformation sur l'élément de référence :
[fig]
[fig]
On peut maintenant calculer la matrice de rigidité élémentaire de l'élément de référence, en reprenant les notations classiques :
[fig]
;[fig]
et donc la matrice de rigidité élémentaire
[fig]
[fig]
A ce stade nous pouvons faire deux remarques : Les matrices de rigidités élémentaires se déduisent de la matrice de rigidité élémentaire de référence. Il suffit de calcule une fois cette matrice pour tous les éléments Comme l'interpolation des déplacements est linéaire, les contraintes et les déformations sont constantes sur l'élément. Cet élément ne sera donc vraiment efficace que si le gradient de déformation est faible. Il donne une solution exacte dans le cas d'une force appliquée à l'extrémité de l'élément.

6.1.2. Barre à champ quadratique (3noeuds)

Cet l'élément est composé de trois noeuds ayant chacun 1 ddl et l'interpolation des déplacements sur l'élément est quadratique. Cet élément est utilisé pour traiter les problèmes de traction-compression dans une barre.
[fig]       [fig]
En utilisant les notations classiques [fig][fig]
qi est le déplacement du noeud i dans le repère lié à la barre. Il est facile de déterminer les fonctions Ni(r) à partir des relations suivantes : [fig]
et donc
[fig]
Les fonctions d'interpolation géométrique Gi sont inchangées :
[fig]
Dans ce cas les deux couples de fonctions sont différentes. Calculons l'énergie de déformation sur l'élément de référence :
[fig]; [fig]
On peut maintenant calculer la matrice de rigidité élémentaire de l'élément de référence, en reprenant les notations classique : [fig]
et donc la matrice de rigidité élémentaire
[fig]
[fig]
[fig]
RQ : Les intégrations se font entre 1 et -1, on peut donc calculer ces intégrales à l'aide des méthodes classique d'intégration numérique (Gauss ou Newton-Cotes). Il faut utiliser deux points de gauss pour obtenir une intégration exacte. On peut également faire une intégration réduite, en utilisant un seul point. La méthode des éléments finis ayant une tendance à surestimer la raideur d'une structure, l'utilisation d'éléments à intégration réduite permet de compenser ce travers. Aussi pour faire un premier calcul sur une structure il est conseillé d'utiliser peut d'éléments mais à intégration réduite.

6.1.3. Barre à 2 noeuds et 4 ddl

Dans les problèmes de flexion, il est nécessaire de satisfaire les conditions de continuité C1, et donc il faut introduire les dérivées des déplacements comme ddl.
[fig]
En utilisant les notations classiques, l'énergie de flexion d'une poutre est :
[fig]
[fig]
[fig]
Les Ni(x) sont les fonctions d'interpolations des déplacements sur l'élément réel. [Q] est le vecteur des inconnues nodales, ou ddl, sur l'élément de réel. Les fonctions Ni(r) sont celles sur l'élément de référence et [Qr] le vecteur des inconnues nodales, ou ddl, sur l'élément de référence.
[fig]
Les fonctions d'interpolation géométrique Gi sont inchangées :
[fig]
Nous allons comme dans les deux éléments précédents étudier l'énergie de déformation sur l'élément de référence . Nous allons écrire un exemples des relation permettant de calculer les fonction Ni(r)
[fig]
En résolvant ce système pour les quatre fonctions, on obtient :
[fig]
[fig];
[fig]
On peut maintenant calculer la matrice de rigidité élémentaire de l'élément de réel à partir de l'élément de référence. Il faut dans ce cas faire attention au faite que les inconnues nodales de l'élément de référence,[Qr] ne sont pas les même que celles de l'élément de réel [Q]:
[fig]
[fig]
[fig]
[fig]
[fig]
[fig]
RQ : Ces éléments sont dit de type Hermitte n Noeuds, 2n ddl, continuité C1. Les deux présentés précédemment sont de type Lagrange (n+1) Noeuds, n+1 ddl, continuité C0 Toutes les remarques faites dans le cas 1-D sont valables dans les autres cas.

6.1.4. Etude des valeurs propres.

Cette étude doit nous permettre de mettre le doigt sur la relation entre les mouvements de corps rigide et le mode de déformation à énergie nulle. Pour simplifier l'écriture du problème nous allons considérer la barre à deux noeuds.
[fig]
Les valeurs propres vérifient :
[fig]
La première valeur propre correspond au mode de déformation à énergie nulle qui correspond pour cet élément à une translation d'ensemble q1=q2.
La deuxième valeur propre correspond au mode de déformation à énergie non nulle qui correspond pour cet élément à une contraction de l'élément q1=-q2..
Comme ce sont les seuls modes propres de déformation de cet élément, toute déformation en sera une combinaison linéaire. Cet élément ne peut donc prendre en compte les rotations. Il est donc utilisable uniquement en traction compression. Ces observations rejoignent ce que nous avons dit sur cet élément. Une étude pour les autres éléments 1-D permettrai de définir les modes propres de déformation pour chacun d'entre eux.

6.2. Elément 2-D

Nous présentons succinctement ici seulement quelques éléments 2-D. Les remarques que nous avons faites dans le cas 1-D reste valable. Il existe les mêmes familles d'éléments : isoparamétrique linéaire ou non et les non isoparamétrique. Dans les bibliothèques il existe de très bons livres (Modélisation des structures par éléments finis . J.L. Batoz et G. Dhatt - Analyse des structures par éléments finis J.F. Imbert.- ...) énumérant tous les éléments ainsi que leurs matrices de rigidités.

6.2.1. Isoparamétrique linéaire.

6.2.1.1. Le triangle.

Le triangle à trois noeuds est aux éléments 2-D ce que la barre à deux noeuds aux éléments 1-D..Il est inutile d'introduire un élément de référence dans ce cas, mais il est plus avantageux d'utiliser le système de coordonnées intrinsèques d'un triangle : le système des coordonnées barycentriques. La numérotation d'un élément se fait toujours dans le sens trigonométrique positif.
[fig]
Cet élément a 6 ddl qui sont les déplacements u(x,y) et v(x,y) à chacun des noeuds. Le champ de contrainte sur cet élément est constant. Le champ de contraint est donc discontinu sur la structure discrétisée. Cette caractéristique fait que cet élément est très rigide. On utilise cet élément soit dans les régions à flaibe gradient de contraintes ou pour raccorder des maillages de taille différente.
[fig]
Raccordement de maillage.

6.2.1.2. Le quadrangle

Le quadrangle à 4 noeuds et 8ddl est un élément très souvent utilisé. Son champ de contrainte n'est plus constant. On peut également choisir entre une intégration complète ou une intégration réduite de la matrice de rigidité. On trouve cet élément dans toutes les bibliothèques d'élément des softs utilisés.
[fig]
Le quadrangle

6.2.2. Isoparamétrique non linéaire

Il existe là aussi soit le triangle à 6 ou 9 noeuds ou le quadrangle à 8 ou 12 noeuds. Ces éléments sont de bonnes qualités pour qui sait les utiliser convenablement. Il est souvent recommandé de les utiliser avec une intégration réduite. Dans un cas on a une interpolation quadratique (6-8) et dans l'autre cas une interpolation cubique. Le nombre de points de gauss ainsi que leurs positions sur l'élément sont donnés dans les documentations des logiciels.

6.2.3. Non isoparamétrique

Il y a deux familles d'éléments soit les Serendip ou les Lagrange. Les premiers ont une interpolation géométrique linéaire et quadratique ou cubique pour les déplacements avec des noeuds uniquement sur la frontière. Les seconds ont également une interpolation géométrique linéaire et quadratique ou cubique pour les déplacements mais ils possèdent des noeuds internes.






Home » » 6. Quelques éléments

0 commentaires :

Enregistrer un commentaire

Membres