4. Intégration numérique




4. Intégration numérique






Il est clair que pour résoudre le système
[fig], il y a des intégrations à faire. Si on utilise un ordinateur pour déterminer les solutions du système, il faut faire des intégrations numériques, car seuls les codes de calcul formel font des intégrations exactes. La grande majorité des codes E.F. n'utilisent pas le calcul formel. Nous allons voir ici deux méthodes d'intégrations numériques dans le cas 1-D. Nous allons nous intéresser au problème suivant :
Déterminer l'intégrale suivante :
[fig]

4.1. Méthode de Newton-Cotes

Cette méthode utilise n points, xi,répartis régulièrement sur [-1,1], avec des poids wi. Le Pb est de déterminer la position et la valeur des poids pour avoir une intégration exacte dans certain cas et donc :
[fig]
Exemple:
Prenons xi = -1et 1. Déterminons les poids.
[fig]
Donc avec deux points -1,1 ayant des poids égaux à 1, nous intégrons de façon exacte un polynôme d'ordre 1. Mais que se passe-t-il avec un polynôme d'ordre supérieur ?
[fig]
Il semble donc qu'avec deux points et la méthode de Newton-Cotes, on intègre seulement un polynôme d'ordre 1. A titre d'exercice on peut déterminer les poids en prenant comme points -1, 0, 1.
Rq : On montre que la méthode de Newton-Cotes intègre exactement un polynôme d'ordre n-1 avec n points.

4.2. Méthode de Gauss

Le principe de la méthode reste le même, mais il faut prendre les points de façon symétrique à 0 et dans [fig].
Prenons deux points x1, x2, ayant des poids respectifs w1, w2 et un polynôme d'ordre 1
[fig]
Donc avec un seul point il est possible de déterminer l'intégration exacte d'un polynôme d'ordre 1.
Prenons maintenant un polynôme d'ordre 3 et deux points :
[fig]
On observe qu'avec seulement deux points on intègre exactement un polynôme de degré 3
Rq : On montre que la méthode de Gauss permet d'intégrer exactement un polynôme d'ordre 2n-1 avec n points.
Dans le cas des intégrales double et triple cela marche de la même façon. Les domaines sont dans le cas 2-D :
[fig]
Les valeurs des points de gauss sont données par exemple dans "Volume 1 Modélisation des structures par éléments finis. J.L. Batoz et G.Dhatt ".


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