3. PRINCIPE DE DISCRETISATION




Les différentes formulations ont abouti à des formulations variationnelles compactes mais continues. Le principe des éléments finis étant de résoudre un problème discrétisé nous allons maintenant introduire des méthodes de discrétisation dans les différentes formulations.

3.1. GALLERKINE

La méthode de Gallerkine est adaptée à la formulation variationnelle découlant du P.P.V.
Objectif : On se donne n fonctions de base {Pi(x)} appartenant au cinématiquement admissible à zéro et on cherche la solution du Pb(I) comme une combinaison linéaire de ces fonctions, dans le cas où il existe des déplacements imposés on rajoute une fonction les réalisant.
[fig]
Le problème d'élasticité isotherme étant Pb(I) étant équivalent à la formulation variationnelle Fv(I), il suffit d'introduire ces notations dans l'écriture de (9) et nous obtenons alors :
[fig]
Il suffit alors de faire varier i de 1 à n . Nous obtenons alors un système linéaire de n équations à n inconnues. Ce système peut s'écrire sous forme matricielle :
[fig]
La matrice K est symétrique. L'équation mis sous sa forme matricielle correspond à la forme générale d'un problème discrétisé. En effet, nous sommes passé d'un problème continu à un problème discrétisé, de l'étude u(x,y,z) à l'étude de n inconnues Qi .

3.2. RITZ

3.2.1. Formulation en déplacement :

Il suffit d'introduire dans l'écriture de l'énergie potentielle la même discrétisation que celle utilisée dans la méthode de Gallerkine. Pour obtenir les équations il suffit de calculer la variation de l'énergie potentielle :
[fig]
Ce qui revient à écrire les différentes équations suivantes :
[fig]

3.2.2. Formulation en Contrainte :

Il suffit de faire la même chose que pour la formulation en déplacement mais avec l'énergie potentielle complémentaire et une discrétisation sur le champ de contrainte. Il faut donc prendre des fonctions de base qui soient S.A. (c'est là que les athéniens s'atteignirent).

3.2.3. Formulation Mixte :

Il suffit de faire la même chose que pour la formulation en déplacement mais avec la fonctionnelle de Ellinger-Reisner et une discrétisation sur le champ de contrainte et sur le champs de déplacement. Il faut donc introduire deux bases.



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