Cours d'Optique Géométrique Chapitre 4

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 SYSTÈMES CENTRÉS DIOPTRIQUES 





4.1 GÉNÉRALITÉS
4.1.1 DÉFINITION - CONDITIONS DE L’ÉTUDE

Un système centré dioptrique est formé par une succession de surfaces planes ou sphériques séparant des milieux transparents: les centres des faces sont alignés sur un même axe qui constitue l’axe principal du système.
Sauf cas très particulier un tel système ne permet pas de réaliser le stigmatisme rigoureux : on cherche donc le stigmatisme approché en se plaçant dans les conditions de l’approximation de GAUSS.
Si ces conditions sont satisfaites, à un point OBJET correspond un point IMAGE ; un élément d’un plan de front admet une autre portion d’un autre plan de front comme image à travers le système : les deux plans sont des plans conjugués.


4.1.2 CORRESPONDANCE OBJET - IMAGE : RELATION DE LAGRANGE HELMHOLTZ


L’unicité de la correspondance objet - image se met facilement en évidence dans les conditions de l’approximation de GAUSS :
- le dioptre
D1 séparant les milieux d’indice n0=n et n1 donne de l’objet A une image A1 qui sert d’objet pour le dioptre D2.
- le dioptre
D2 séparant les milieux d’indice n1et n2 donne de l’objet A1 une image A2 qui sert d’objet pour le dioptre D3.
- le dioptre
Di séparant les milieux d’indice ni-1 et ni donne de l’objet Ai-1 une image Aii qui sert d’objet pour le dioptre Di+1.
- finalement, le dioptre
Dp séparant les milieux d’indice np-1 et np=n' donne de l’objet Ap-1 une image A' qui est unique.
Les rôles de A et A'
peuvent être échangés par application du principe de retour inverse de la lumière. A et A'
sont des points conjugués. Leur correspondance est biunivoque pour un système donné.
Après un choix convenable des origines on pourra donc toujours établir une relation de position biunivoque entre A et A'

.
L’établissement d’une relation de grandeur est immédiat : pour chacun des dioptres constituant le système étudié, lorsque les conditions de l’approximation de GAUSS sont satisfaites, la relation de LAGRANGE / HELMHOLTZ est vérifiée. On a donc:
Ceci établit la relation de LAGRANGE HELMHOLTZ où n et n' sont les indices des milieux respectivement à l’entrée et à la sortie du système centré. AB et A'B' sont les mesures algébriques des dimensions correspondantes de l’objet et de l’image. Enfin α' est l’angle que fait avec l’axe en A' le rayon émergent correspondant à l’incident qui fait l’angle α .
4.2 ÉLÉMENTS CARDINAUX
4.2.1 INTÉRÊT DES ÉLÉMENTS CARDINAUX 

Pour  certains  systèmes  centrés  simples  comme  les  lentilles,  un  peut déterminer  la  position  et  la dimension de l’image .A'B' d’un objet AB en considérant l’action successive de chacun des dioptres. Mais, plus souvent,  on  a  intérêt  à  utiliser  des  points  ou  des  plans  possédant  des  propriétés particulières  permettant  de construire de façon simple certains rayons réfractés. Ces points et ces plans constituent les éléments cardinaux du système. 
Il faut bien remarquer que pour déterminer la position des éléments cardinaux on a besoin de connaître de façon très  précise  la  géométrie  (positions  des  centres  et  des  sommets)  et  la  composition  (valeurs  des  indices  des différents  milieux)  du  système.  En  revanche,  une  fois  ces  éléments déterminés,  toutes  les  études  ultérieures pourront  être  effectuées  sans  avoir  à  connaître  la  structure  physique  du  système  centré  et  très simplement  en utilisant sa représentation à l’aide de ses éléments cardinaux.  

4.2.2 FOYERS ET PLANS FOCAUX 

Par définition, si le point objet est à l’infini sur l’axe, son conjugué est le foyer principal image F'

Par  définition,  le  point  objet  F  sur  l’axe  ayant  pour  conjugué  le  point image  à  l’infini  sur  l’axe  est  le  foyer principal objet F . 
Pour un système, le foyer principal image et le foyer principal objet sont uniques.  
N.B :   il convient de bien remarquer que les deux foyers ne sont pas les conjugués l’un de l’autre : l’expérience montre que cette erreur est souvent commise par des étudiants inattentifs. 
Le  plan  focal  image  et  le  plan  focal  objet  sont  les  plans  de  front correspondants,  c’est-à-dire  les  plans perpendiculaires à l’axe du système respectivement en F' et en F.  
Le plan  focal  image  est  le  lieu des  foyers  secondaires où  convergent  les faisceaux  incidents  cylindriques. De même le plan focal objet est le lieu des foyers secondaires par où passent les faisceaux émergents cylindriques.
La direction de ces faisceaux cylindriques ne sera déterminée que plus loin 4.2.5. 
Si  les  foyers  sont à  l’infini  le  système est dit ” AFOCAL  ”. On peut remarquer que  le dioptre plan  réalise un système afocal.  

4.2.3 PLANS PRINCIPAUX

LES PLANS PRINCIPAUX SONT DEUX PLANS DE FRONT CONJUGUÉS POUR LESQUELS LE GRANDISSEMENT LINÉAIRE EST ÉGAL à 1. 

Si, comme sur la figure 3, les foyers F et F' sont à distance finie, on considère un incident SI, parallèle à l’axe, qui émerge suivant I'F'
. On considère également l’incident F J tel que l’émergent correspondant ait même support que SI. Les points de rencontre K des incidents choisis et K' des émergents correspondants existent à distance finie et sont conjugués.  

Ce  résultat  est  valable  pour  tous  les  couples  de points  voisins  de  l’axe  des  plans  de  front P  et P' passant par K et K' tels que KH = K'H'. 
On remarque que le grandissement pour les plans P et  P' est  égal  à  1  :  ces deux  plans  sont  donc  les plans principaux. 
Les  points H  et H' sont  les  points  principaux. Par définition HH' caractérise l’interstice du système  


Propriétés : 
 C’est le lieu des points d’intersection des incidents parallèles à l’axe et des émergents correspondants passant par F'



4.2.4 DISTANCES FOCALES


La distance focale objet est par définition la mesure algébrique HF, parfois notée f = HF. La distance focale image est par définition la mesure algébrique H'F', parfois notée f' = H'F' .
  
  

Sur la figure 4 le système est représenté par ses foyers et ses plans principaux : n est l’indice du milieu que voit la face d’entrée et n' l’indice du milieu que voit la face de sortie.
Tous les rayons issus d’un point du plan focal objet émergent parallèles entre eux et donc à K'F'
. Si on applique la relation de LAGRANGE HELMHOLTZ à l’objet HK et à son image H'K', on a :
n.HK .α'.H'K'.a' soit dans ce cas particulier n.α'.a'.

Par ailleurs, dans les conditions de l’approximation de GAUSS :  

soit finalement : HF.αH'F'.a'.

En divisant ce résultat par l’égalité n.α'.a', il vient :

 Dans un système dioptrique, les distances focales sont toujours de signes contraires et leur rapport est celui des indices des milieux extrêmes changé de signe.
Comme pour les dioptres on définit la vergence V du système :

La vergence se mesure en dioptries. Par définition, la dioptrie est la vergence d’un système optique de distance focale 1 mètre dans un milieu d’indice 1. 

4.2.5 APPLICATIONS AUX CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES  

Construction de l’émergent correspondant à un incident donné

On  considère  le  rayon  incident  (figures  5  et  6)  qui  coupe  le  plan principal  objet  en  K  :
l’émergent correspondant passe par le conjugué K' qui appartient au plan principal image: on connaît  alors  un  point  du  support  du  rayon  émergent et  il  reste  seulement  à  déterminer  sa direction par l’une des deux méthodes décrites ci-après.  
    
a.  Soit on trace FJ parallèle à l’incident initial. Au rayon FJ qui est issu du foyer objet F correspond un émergent, parallèle à l’axe, qui coupe le plan focal image en  φ'. Par définition du plan focal image, tous les rayons incidents parallèles à FJ convergent au foyer secondaire  φ' et par suite l’émergent cherché est K'φ' 
b.  Soit on considère le foyer secondaire  φ'F'. Par suite l’émergent cherché est la parallèle à G'F' passant par K'. 

Construction de l’image d’un objet AB 


L’aplanétisme étant réalisé dans les conditions de l’approximation de GAUSS, si A est sur l’axe, il suffit de construire l’image du point B. On l’obtient en construisant les émergents correspondants à deux incidents particuliers issus de B :  


4.2.6 POINTS NODAUX 

LES POINTS NODAUX N ET N’ SONT DEUX POINTS CONJUGUÉS SUR L’AXE TELS QUE TOUT INCIDENT PASSANT PAR N CORRESPOND UN ÉMERGENT PASSANT PAR N’ ET PARALLÈLE A L’INCIDENT.  


Pour construire les points nodaux à partir des éléments cardinaux déjà connus on procède comme l’indique la figure 9 :
- si φ'F'
. - ceci est vrai pour le rayon incident φ'F' qui coupe l’axe en N.
- l’émergent correspondant à J émerge en J' et son support coupe l’axe en N'.
Sur la figure 7 on voit que les triangles φ'H'F' sont égaux donc :


et on peut trouver de même :
La dernière relation est évidente par application du principe de retour inverse de la lumière (les éléments objets et  les  éléments  images  échangent  leurs  rôles).  On  peut  aussi  la  démontrer  de  façon  plus lourde  après  avoir remarqué l’égalité des triangles NHJ et N'H'J' , on a en effet :  


Par ailleurs dans le parallélogramme NN'J'J 1es côtés opposés NN' et JJ' sont égaux. Comme de plus JJ'=HH' on en déduit que la distance des points nodaux est égale à l’interstice du système :  


Enfin on peut remarquer que : 




4.2.7 CONCLUSION - CAS DU DIOPTRE SPHÉRIQUE


Un système centré dioptrique est complètement déterminé par la connaissance de ses éléments cardinaux. Compte tenu des relations qui les tient il suffit de connaître les foyers et les points principaux ou les foyers et les points nodaux.
Le système avec foyers à distance finie le plus simple est le dioptre sphérique. En utilisant les définitions on peut voir que, dans ce cas, les plans principaux sont confondus avec le plan tangent au sommet : H et H' sont en S.
Les points nodaux sont confondus avec le centre C.
On retrouve ces résultats à l’aide de la relation 4.6 : en utilisant les relations 3.2 et 3.3 on a en effet :
 




4.3 FORMULES DES SYSTÈMES CENTRÉS
4.3.1 FORMULES DE CONJUGAISON


Origines aux points principaux
On repère la position de l’objet A par rapport au point principal objet H à l’aide de HA et la position de l’image A'  par rapport au point principal H' à l’aide de H'A' . 
  


Sur la figure10, les triangles LHF et LKB, d’une part, et les triangles K'H'F' et K'L'B' , d’autre part, son semblables. On a donc : 


En ajoutant les deux égalités membre à membre il vient :  


puisque :  
 


la relation précédente devient :
En multipliant par :
on fait apparaître la vergence V et la forme la plus utile de la relation de conjugaison :


Origines aux foyers : Formules de NEWTON
On repère la position de l’objet par FA et la position de l’image par F'A'. On voit sur la figure 8 les triangles FAB et FHL, d’une part, F'H'K' et F'A'B', d’autre part, sont semblables. On en déduit :




D’où on tire la relation de conjugaison :  
et les expressions du grandissement :  
Puisque HF et H'F' sont de signes contraires, il en est de même pour FA et F'A'. Par ailleurs, à chaque valeur du grandissement, correspond une seule position de l’objet.  

4.3.2 AUTRES RELATIONS  

Comme pour le dioptre sphérique :nG = α'/α  est  le rapport de convergence  et 
est le grandissement axial. 

De la relation de LAGRANGE HELMHOLTZ, n.AB.α'.A'B'.a'on tire :  

Soient A et A' deux points  conjugués  et AC un petit déplacement de  l’objet  le  long de  l’axe. Le déplacement correspondant de l’image est A'C'



Si, comme le montre la figure 9, I'C' est le rayon émergent correspondant à l’incident CI, et A'
B'  est l’image de AB. On voit que : 



d'ou :
Si  le déplacement AC est assez petit on peut confondre  les valeurs de g, γ , on voit que g =γ2(n'/n) est  toujours positif. On peut donc conclure :  
POUR  LES  SYSTÈMES  CENTRÉS  DIOPTRIQUES  L’OBJET  ET  L’IMAGE  SE  DEPLACENT
TOUJOURS DANS LE MÊME SENS. 


4.3.3 CAS PARTICULIER: MILIEUX EXTRÊMES IDENTIQUES 

Ce cas particulier est très important en pratique puisqu’il correspond à tous les systèmes optiques usuels [lentilles, loupes, microscopes (sauf cas du microscope à immersion) lunettes astronomiques, terrestres ... ]dont les  faces d’entrée et de sortie baignent dans  l’air. Si n = n' on a HF =  f = H'F'=f'. On pose alors  H'F' et on obtient les résultats suivants où les formules les plus utilisées sont en numérotées.  - Formules de conjugaison :

- Grandissement: les relations de NEWTON donnent :  





dessus - une nouvelle forme très utile du grandissement :  
- Eléments cardinaux : HN = H'N'= HF + H'F'= (-φ)

On  cherche  à  déterminer  les  éléments  cardinaux  d’un  nouveau  système  constitué  par  l’association  de  deux systèmes dont  les éléments cardinaux sont connus. Avec  les notations habituelles  (H et H', F et F', N et N') on caractérise  les éléments du premier système par  l’indice  1 et ceux du second système par l’indice  2. Les  lettres sans indice désignent des éléments du système complet.  n et n' sont les indices des milieux d’entrée et de sortie du système complet ; N est l’indice du milieu qui sépare les deux systèmes. La face d’entrée du système (1) baigne donc dans le milieu d’indice n tandis que sa face de sortie voit  le milieu d’indice N. Pour  le  système  (2)  c’est  le milieu d’indice N qui  est  en  contact  avec  la  face d’entrée tandis que la face de sortie baigne dans le milieu d’indice n'. 
La  position  du  second  système  par  rapport  au  premier  est  définie  si  on  se  donne  e  =  H1H2  qui  donne  la ”distance” entre le plan principal image du premier système et le plan principal objet du second.   


4.4.1  CONSTRUCTION  GÉOMÉTRIQUE  DES  FOYERS  ET  DES  PLANS
PRINCIPAUX
 


Commenter la construction de l’image  

4.4.2 POSITION DES FOYERS 

Le  foyer  image F' de  l’ensemble  (1) +  (2)  est  l’image du  foyer  image F1' du  système  (1)  à  travers  le système (2). Par application de la formule de conjugaison de NEWTON on trouve : 
Le foyer objet F de l’ensemble a pour image, à travers le système (1), le foyer objet F2  du système (2). On trouve alors : 
Les positions des foyers se déduisent des relations précédentes.  N.B. On  trouve parfois désignée par  le nom de”’  intervalle optique ”  la quantité F1'F2 qui caractérise aussi  la position du système (2) par rapport au système (1). On a en effet : 
4.4.3 CALCUL DES DISTANCES FOCALES 

Pour  calculer  la  distance  focale  image  f' on  considère,  à  l’aide  de  la  figure  12a,  les  égalités  résultant  de  la similitude des triangles : 



d'une part 

d'une autre part 

Puisque H'K' = H1'K1' et H2'G2'=F2Q2 les deux derniers rapports sont égaux et on en déduit :  
Un  raisonnement  analogue  à  partir  de  la  figure  10b,  ou,  plus  simplement,  l’utilisation  du  principe  de  retour inverse de la lumière donnent :  
4.4.4 FORMULE DE GULLSTRAND 

Le nouveau système a pour vergence : 
La vergence s’écrit alors :  
Dans cette expression on fait alors apparaître les vergences V1 et V2 des deux systèmes : 

il vient :  


soit finalement,  la formule de Gullstrand qui donne  la vergence du système complet en  fonction des vergences des deux systèmes qui le composent, de l’indice du milieu qui les sépare et de la distance e = H1'H2


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